奥赛典型例题分析振动和波.pptx

1奥赛典型例题奥赛典型例题分析分析(振动和波振动和波)21.如图如图1所示的振动所示的振动系统，轻弹簧的劲度系统，轻弹簧的劲度系数为系数为k，滑轮的质，滑轮的质量为量为M，细线与滑轮，细线与滑轮之间无摩擦，两个小之间无摩擦，两个小物块的质量分别为物块的质量分别为m1和和m2，m1 m2，试，试求滑轮的振动周期求滑轮的振动周期.Mm1m2k图图13例例1 解解:m1m2k图图1Mm图图2aa 先看图先看图2的情况，设轻绳的拉力大的情况，设轻绳的拉力大小为小为T，则，则由上一两个方程可解得由上一两个方程可解得天花板所受的拉力为天花板所受的拉力为这表明原来系统对天花板的作用与图这表明原来系统对天花板的作用与图3物体物体M 对对天花板的作用等效，只要天花板的作用等效，只要M取值为取值为4图图3m1m2k图图1图图4k因此，只要在上式中令因此，只要在上式中令 就可就可用图用图4等效于图等效于图1,此时有此时有所以，系统的振动圆频率为所以，系统的振动圆频率为系统的振动周期为系统的振动周期为52.如图如图2所示，物体的质量为所示，物体的质量为m，用，用弹簧悬挂吊于水平轻杆上，杆的一弹簧悬挂吊于水平轻杆上，杆的一端与光滑铰链相连，另一端用弹簧端与光滑铰链相连，另一端用弹簧悬挂，已知悬挂，已知k1、k2、m及尺寸及尺寸a、b，试求物体试求物体m的振动周期的振动周期.图图2Oabk1k2m6 设当当m处于平衡位置时，处于平衡位置时，弹簧弹簧1、2的伸长量分别为的伸长量分别为l10和和l20,则则例例2 解解:图图1Oabk1k2moxx对对m有有对杆有对杆有建立建立ox轴，如图所示，当杆转轴，如图所示，当杆转过一个微小的角过一个微小的角时，时，对对m有有对杆有对杆有由以上方程可得由以上方程可得7由由(5)、(6)式可得式可得由由(5)、(7)式消去式消去可可得得由这方程可知由这方程可知m的振动圆频率为的振动圆频率为故故m的微振动周期为的微振动周期为83.如图如图3所示，质量为所示，质量为m的小球的小球C由细绳由细绳AC和和BC共同悬挂，已知共同悬挂，已知ACl，BC2l，ACOBCO30,试求小球试求小球C在垂直纸面方向上的微振动周期在垂直纸面方向上的微振动周期.图图3CABml2lO30309 方法方法1：以：以A为等效悬挂点为等效悬挂点图图1CABml2lO例例3 解：解：30 30ggcos30 于是小球于是小球C在垂直屏幕面方向上在垂直屏幕面方向上的微小摆动的周期为的微小摆动的周期为O方法方法2：以：以AB线与线与CO线的交点线的交点O为等效悬挂点为等效悬挂点则等效摆长则等效摆长l为为CO，根据几何关系可求得，根据几何关系可求得那么小球那么小球m的微振动周期为的微振动周期为 把重力加速度把重力加速度 沿沿AC方向和方向和AB方方向分解，可得在向分解，可得在AC方向的分量值为方向的分量值为gcos30.104.半径为半径为R的轻圆环上固定两个质量相同的小的轻圆环上固定两个质量相同的小重物，在环上与两个小重物距离相等的重物，在环上与两个小重物距离相等的O处钻处钻一小孔，将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而一小孔，将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而把圆环挂起来，使圆环可以在竖直平面上作把圆环挂起来，使圆环可以在竖直平面上作微振动，两小重物的位置关系可以用它们之微振动，两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离间的角距离2表示，如图表示，如图4所示，试求圆环微所示，试求圆环微振动的周期振动的周期.O图图4RR11例例4 解：解：图图1ORR 用能量法求周期用能量法求周期 设每个重物的质量为设每个重物的质量为m，它作微振动，它作微振动时的最大角振幅为时的最大角振幅为 ,如图所示，那么如图所示，那么它通过平衡位置时的最大速度它通过平衡位置时的最大速度 为为其中其中故故于是摆的最大动能为于是摆的最大动能为 设摆的质心设摆的质心C能上升的最大高度为能上升的最大高度为hCm，则据机械能，则据机械能守恒定律有守恒定律有C12C图图1ORR在平衡位置时，质心在平衡位置时，质心C据悬挂点据悬挂点O的距离为的距离为因最大偏角为因最大偏角为 ，故质心上升的最大，故质心上升的最大高度为高度为于是由于是由 可得可得解得解得因为因为所以所以圆环微振动周期为圆环微振动周期为135.如图如图5所示，在水平光滑桌面的中心有一个光滑小所示，在水平光滑桌面的中心有一个光滑小孔孔O，一条劲度系数为，一条劲度系数为k的细弹性绳穿过小孔的细弹性绳穿过小孔O，绳，绳的一端系于小孔的一端系于小孔O正下方地面的正下方地面的A处，另一端系一质处，另一端系一质量为量为 m的小物块，弹性绳的自然长度等于的小物块，弹性绳的自然长度等于OA，现将，现将小物块沿桌面拉至小物块沿桌面拉至B点处，点处，OBL，并给小物块一，并给小物块一个与个与OB垂直的初速度垂直的初速度v0沿桌面射出，试求：沿桌面射出，试求：(1)小物块绕小物块绕O点转过点转过90到达到达C点所需要的时间点所需要的时间;(2)小物块到达小物块到达C点时的速度及点时的速度及CO的长度的长度.OBAv0图图514例例5 解：解：OBAv0图图1xy图图2 (1)据胡克定律，质点在其运据胡克定律，质点在其运动轨迹上任一位置处所受弹力的大小动轨迹上任一位置处所受弹力的大小为为Fkr,其中其中r为质点所在位置与原点为质点所在位置与原点O的距离的距离,也是弹性绳的伸长量也是弹性绳的伸长量.由图由图2得得可见，质点在可见，质点在x方向和方向和y方向都作简谐振动方向都作简谐振动.平衡位置都在原点，振动圆频率都是平衡位置都在原点，振动圆频率都是周期都是周期都是15 质点从起始位置质点从起始位置B绕绕O点运动到点运动到C点，点，对于对于x方向的简谐振动来说，质点是从方向的简谐振动来说，质点是从最大位移的位置运动到平衡位置的，恰最大位移的位置运动到平衡位置的，恰好经历了好经历了1/4T,所以所以xy图图2(2)在在x方向上，质点作简谐振动，利用如图方向上，质点作简谐振动，利用如图3所示的参所示的参考圆，可确定其振幅和初相考圆，可确定其振幅和初相:图图4于是其在于是其在x方向的简谐振动方程为方向的简谐振动方程为速度为速度为16可求得可求得利用公式利用公式 及初始条件及初始条件因质点经因质点经t=T/4时间到达时间到达C点，故在点，故在C点处，有点处，有于是于是176.三根长为三根长为l2.00m的质量均匀的直杆构成一个等的质量均匀的直杆构成一个等边三角形框架边三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导轨，一是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图6所示，现观测所示，现观测到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试证明到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试证明松鼠的运动应是一种什么样的运动松鼠的运动应是一种什么样的运动.ABCl图图6ll(96年年13届预赛题届预赛题)18例例6 解：解：ABCl图图1ll 建立如图所示建立如图所示ox轴轴.因为题设玩具松鼠在导轨上运动时，因为题设玩具松鼠在导轨上运动时，框架都静止不动框架都静止不动.那么以框架作为研那么以框架作为研究对象，对究对象，对C轴力矩平衡，因此当玩轴力矩平衡，因此当玩具松鼠运动到图中位置时，它除了受具松鼠运动到图中位置时，它除了受到玩具松鼠给以的向下的、大小到玩具松鼠给以的向下的、大小为为mg的压力外，必然受到玩具松鼠给以的大小为的压力外，必然受到玩具松鼠给以的大小为F的的向左的力作用向左的力作用.于是有于是有得得 那么，玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于那么，玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于F的力的力F的作用的作用.19由此可见，玩具松鼠的运动必然是简谐振动由此可见，玩具松鼠的运动必然是简谐振动.其振动周期为其振动周期为 因玩具松鼠到达因玩具松鼠到达AB导轨两端时应反向它的，所以导轨两端时应反向它的，所以其振幅不能大于其振幅不能大于1/2l,即即 由以上论证可知，玩具松鼠在导轨由以上论证可知，玩具松鼠在导轨AB上的运动是以上的运动是以AB中点为平衡位置，振幅不大于中点为平衡位置，振幅不大于1米，周期约为米，周期约为2.64s的简谐振动的简谐振动.207.A是某种材料制成的小球，是某种材料制成的小球，B是某种材料制成的均是某种材料制成的均匀刚性薄球壳，假设匀刚性薄球壳，假设A与与B的碰撞是完全弹性的，的碰撞是完全弹性的，B与桌面的碰撞是完全非弹性的与桌面的碰撞是完全非弹性的.已知球壳质量为已知球壳质量为m，内半径为内半径为r，放置在水平无弹性的桌面上，小球，放置在水平无弹性的桌面上，小球A的的质量也为质量也为m，通过一自然长度为，通过一自然长度为r的柔软弹性绳悬挂的柔软弹性绳悬挂在球壳内壁的最高处，且有在球壳内壁的最高处，且有kr=9mg/2，k为弹性绳为弹性绳的弹性系数的弹性系数.起初将小球起初将小球A拉到球壳的最低点，如图拉到球壳的最低点，如图7所示，然后轻轻释放，试详细地、定量地讨论小球所示，然后轻轻释放，试详细地、定量地讨论小球A以后的运动以后的运动.(92年第年第9届预赛题届预赛题)AB图图721例例7 解：解：AB图图1 小球小球A的平衡位置的平衡位置O与球心与球心O的距的距离为离为l，且有，且有以以O为原点建立如图所示的为原点建立如图所示的x轴轴.设任一时刻，小球设任一时刻，小球A偏离平衡位置，其坐标为偏离平衡位置，其坐标为x，那么它所受的回复力为那么它所受的回复力为令令 ，则小球的运动方程为，则小球的运动方程为因为因为t=0时，时，22所以小球的振幅为所以小球的振幅为初相为初相为故小球运动方程为故小球运动方程为运动速度为运动速度为加速度为加速度为当当 时，即小球时，即小球A回到球心回到球心O处，由处，由(1)式可得式可得AB图图123 所以所以由由(2)得此时小球的速度为得此时小球的速度为由由(3)得此时小球的加速度为得此时小球的加速度为 此后，小球向上运动，绳子不再拉紧小球，小球此后，小球向上运动，绳子不再拉紧小球，小球A作作竖直上抛运动竖直上抛运动.小球上升的最大高度不能超过小球上升的最大高度不能超过r，故当小，故当小球球A上升高度为上升高度为r时，其速度大小为时，其速度大小为v，有，有24 这表明小球这表明小球A将与球壳相碰，由于两者质量相等，将与球壳相碰，由于两者质量相等，且碰撞为弹性碰撞，所以，且碰撞为弹性碰撞，所以，A与与B交换速度，交换速度，B竖直上竖直上抛，而小球抛，而小球A则自由下落则自由下落.B能上升的最大高度为能上升的最大高度为所用时间为所用时间为 此后，此后，B自由下落自由下落.而当而当B 上升到最大高度时，小球上升到最大高度时，小球A的下落高度为的下落高度为由于由于这表明此时绳子仍未拉紧这表明此时绳子仍未拉紧.25令令 ，其中，其中由这三式可解得：由这三式可解得：这表明经历时间这表明经历时间t，绳子将被拉直，此时小球，绳子将被拉直，此时小球A回到回到球壳的球心球壳的球心O点，球壳点，球壳B则经历一升一降，又回到原来则经历一升一降，又回到原来位置，并与桌面作完全非弹性碰撞而静止位置，并与桌面作完全非弹性碰撞而静止.此时小球此时小球A的速度为的速度为此后在绳子作用下又作简谐振动此后在绳子作用下又作简谐振动.其振动方程为其振动方程为由初始条件：由初始条件：可求得可求得26故故于是于是由于由于 所以小球所以小球A向下运动时不可能与球壳相碰，这是预料向下运动时不可能与球壳相碰，这是预料中的事，因球壳中的事，因球壳B与桌面的碰撞是完全非弹性碰撞，能与桌面的碰撞是完全非弹性碰撞，能量有所损失量有所损失.故球壳故球壳B将一直静止下去将一直静止下去.小球小球A的振动周期仍为的振动周期仍为27由图由图2所示的参考圆可知，小球所示的参考圆可知，小球A从从O点下落再回到点下落再回到O点需时间为点需时间为图图2 接着，小球接着，小球A又做竖直上抛运动，上抛又做竖直上抛运动，上抛的初速度大小为的初速度大小为其上抛的最大高度为其上抛的最大高度为到最高点时速度为零，故小球到最高点时速度为零，故小球A只是与球壳轻轻接触而只是与球壳轻轻接触而不发生碰撞，然后又落回，球壳不发生碰撞，然后又落回，球壳B则保持静止则保持静止.小球小球A从从上抛到回到上抛到回到O点需时间为点需时间为28此后，球壳此后，球壳B一直保持静止，而小球一直保持静止，而小球A则作简谐振动则作简谐振动竖竖直上抛运动直上抛运动简谐振动简谐振动竖直上抛运动竖直上抛运动简谐振动简谐振动这这样的周期性运动，其运动周期为样的周期性运动，其运动周期为小球小球A与球壳与球壳B的运动情况可以用下图来表示的运动情况可以用下图来表示.重复重复AB298.如图如图8所示，一只狼沿半径为所示，一只狼沿半径为R的圆形的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动，当狼经过岛边缘按逆时针方向匀速跑动，当狼经过岛边缘某点时，一只猎犬以相同速率岛边缘某点时，一只猎犬以相同速率v从从岛中心岛中心O出发追赶狼，设在追赶过程中狼、出发追赶狼，设在追赶过程中狼、猎犬、中心猎犬、中心O三者始终在同一直线上，问三者始终在同一直线上，问猎犬应沿何种曲线追赶？它在何处可以追猎犬应沿何种曲线追赶？它在何处可以追上狼？上狼？O图图830例例8 解：解：方法一（解析法）：方法一（解析法）：建立极坐标系，建立极坐标系，如图如图1所示所示.设设t=0时，犬和狼分别位于图中时，犬和狼分别位于图中的的O点和点和A点，经历一段时间，在时刻点，经历一段时间，在时刻t，狼，狼到达到达C点，犬到达距圆心点，犬到达距圆心O为为r的的D点点.依题意，依题意，O、D、C三点在同一直线上三点在同一直线上.狼绕岛做圆周狼绕岛做圆周运动的角速度是恒量，为运动的角速度是恒量，为图图1 设犬在设犬在D点处的径向速度和横向速度分别为点处的径向速度和横向速度分别为 和和 .为为保证任何时候犬和狼都在同一直线上，则必须有保证任何时候犬和狼都在同一直线上，则必须有即即由于由于即即因此有因此有即有即有或或因因v、都是恒量，都是恒量，31图图1 这表明在以这表明在以转动的参考系来看，在转动的参考系来看，在r方向方向上，犬做简谐振动上，犬做简谐振动.设其方程为设其方程为当当 时，时，,，速度沿，速度沿r轴正方向，轴正方向，而且最大，为而且最大，为所以所以且且 ，于是，于是在静止参考系的固定坐标系在静止参考系的固定坐标系o-xy中，在中，在t时刻犬的坐标为时刻犬的坐标为32图图1由以上两个方程消去由以上两个方程消去t得犬的轨迹方程得犬的轨迹方程 这是一个圆心在（这是一个圆心在（0，R/2），半径为），半径为R/2的半圆的半圆.这这半圆与狼的轨迹圆的交点半圆与狼的轨迹圆的交点B就是犬就是犬可能可能追上狼的地方追上狼的地方.犬沿这半圆从犬沿这半圆从O点到达点到达B点需时间为点需时间为 狼沿圆从狼沿圆从A点到达点到达B点需时间为点需时间为因因 ，这说明，这说明B点点就是就是犬追上狼的地方犬追上狼的地方.33方法二：猜想和证明法方法二：猜想和证明法 开始时，犬在开始时，犬在O点，狼在点，狼在A点，犬的速度应该全是径点，犬的速度应该全是径向速度，而无需横向速度向速度，而无需横向速度,速度方向应与轨迹相切，所速度方向应与轨迹相切，所以，犬的轨迹圆的圆心应在以，犬的轨迹圆的圆心应在y轴上轴上.当犬在当犬在B点追上狼时，点追上狼时，它们的速度方向应相同都与它们的速度方向应相同都与y轴垂直，犬的速度应该全轴垂直，犬的速度应该全是横向速度是横向速度.此时犬的速度方向也应与其轨迹圆相切，此时犬的速度方向也应与其轨迹圆相切，故轨迹圆的圆心也应在故轨迹圆的圆心也应在y轴上，由此可知犬的轨迹圆应轴上，由此可知犬的轨迹圆应是以是以OB为直径的圆为直径的圆.下面再证明这个圆满足题目所给的下面再证明这个圆满足题目所给的条件条件.设狼位于设狼位于A点时犬从点时犬从O点出发追狼点出发追狼.当犬当犬未追上狼时，总可以把它的速度按径向未追上狼时，总可以把它的速度按径向和横向分解和横向分解.径向速度径向速度vr使犬与狼的距离使犬与狼的距离缩短，而横向速度缩短，而横向速度v则使犬和狼以及则使犬和狼以及O点保持在同一直线上点保持在同一直线上.因为狼的轨迹是圆，因此可因为狼的轨迹是圆，因此可猜想猜想犬的轨迹也是圆，并且在犬的轨迹也是圆，并且在B点追上狼点追上狼.34设犬到达设犬到达D点时狼到达点时狼到达C点，连接犬的轨点，连接犬的轨迹圆的圆心迹圆的圆心O和和D点，因圆心角是对应点，因圆心角是对应的弦切角的两倍，所以，的弦切角的两倍，所以，DOO=2.则有犬在则有犬在t时间内通过的路程为时间内通过的路程为延长延长OD与圆与圆O相交于相交于C点，点，则则又因狼的速率与犬的速率都是又因狼的速率与犬的速率都是v，所以它们在相同的，所以它们在相同的时间内通过相同的路程，所以，应有时间内通过相同的路程，所以，应有则表明则表明C与与C点重合，实际上是同一个点点重合，实际上是同一个点.也就表明任何时候，也就表明任何时候，O点和犬、狼都在同一直线上点和犬、狼都在同一直线上.满足了题目所给的条件满足了题目所给的条件.半圆半圆O确实是犬的轨迹确实是犬的轨迹.359.到了晚上，地面辐射降温使空气层中产到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，温度随高度递增，这导致声生温度梯度，温度随高度递增，这导致声速速v随高度随高度y变化，假定变化规律为变化，假定变化规律为 v=v0(1+a2y2)，其中，其中v0是地面（是地面（y0）处）处的声速，的声速，a为比例常数，今远方地面上某声为比例常数，今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直方向成源发出一束声波，发射方向与竖直方向成角，假定在波的传播范围内角，假定在波的传播范围内ay1，试求，试求该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听得最清楚的地点与声源的距离得最清楚的地点与声源的距离.36例例9 解：解：本题要求的是声波波线的轨本题要求的是声波波线的轨迹，该波线与地面的交点就是地面上迹，该波线与地面的交点就是地面上听得最清楚的地点听得最清楚的地点.图图1第第i层层第第i+1层层第第1层层 如图如图1所示，声源在坐标原点，所示，声源在坐标原点，x轴沿轴沿地面，沿地面，沿y轴将空气分割成平行于轴将空气分割成平行于x轴的轴的n(n)个薄层个薄层.每个薄层的厚度为每个薄层的厚度为y(y0)，声波，声波从从o点开始进入第一层，入射角为点开始进入第一层，入射角为0,在各层空气中的声在各层空气中的声速依次为速依次为 ,各层界面上声波的折射角依次为各层界面上声波的折射角依次为 ,第第i1层的入射角等于第层的入射角等于第i层的折射角层的折射角.据折射定律得据折射定律得因此有因此有37 由于声速沿由于声速沿y轴递增，折射角轴递增，折射角也逐渐也逐渐增大，也即各层的入射角逐渐增大，增大，也即各层的入射角逐渐增大，到某一层入射角超过了临界角时，声到某一层入射角超过了临界角时，声波就会发生全反射而折回地面波就会发生全反射而折回地面.图图1第第i层层第第i+1层层第第1层层 现在来考察第现在来考察第i层中声波的径迹：由层中声波的径迹：由于于y极小，在这薄层中的声速可认为不变，径迹可认极小，在这薄层中的声速可认为不变，径迹可认为是一直线，由几何关系可知，声波的波线的斜率为为是一直线，由几何关系可知，声波的波线的斜率为由由(1)、(2)式及题设条件可得：式及题设条件可得：38 由于中学未教积分，故采用下面方法来得到由于中学未教积分，故采用下面方法来得到y与与x的的关系式关系式.因因ay0的值的值)