2007年考研数学一真题及解析.doc

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2007年考研数学一真题
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2007年考研数学一真题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（1） 当时，与等价的无穷小量是 ( )
A. B. C. D.
(2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)= .则下列结论正确的是 ( )
A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)=
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )
A. 若存在，则f（0）=0 B. 若 存在，则f（0）=0
C. 若 存在，则=0 D. 若 存在，则=0
(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )
A.若，则{}必收敛 B. 若，则{}必发散
C. 若，则{}必收敛 D. 若，则{}必发散
(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 ( )
A. B. C. D.
（7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A） （B）
（C） （D）
（8）设矩阵A=，B=，则A于B ( )
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( )
（A） (B)
(C) (D)
(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，，分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度为 ( )
（A） (B)
(C) (D)
二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11） ＝_______.
（12）设为二元可微函数，，则＝______.
(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y＝____________.
(14)设曲面：，则＝_____________.
(15)设矩阵A＝，则的秩为________.
（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为________.
三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵
验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；
求矩阵.
(23)设二维变量的概率密度为

求；
求的概率密度.
(24)设总体的概率密度为

,,…是来自总体的简单随机样本，是样本均值
求参数的矩估计量；
判断是否为的无偏估计量,并说明理由.
2007年考研数学一真题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（2） 当时，与等价的无穷小量是 (B)
A. B. C. D.
(2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 (D)
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)= .则下列结论正确的是 (C)
A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)=
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
A. 若存在，则f（0）=0 B. 若 存在，则f（0）=0
C. 若 存在，则=0 D. 若 存在，则=0
(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)
A.若，则{}必收敛 B. 若，则{}必发散
C. 若，则{}必收敛 D. 若，则{}必发散
(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B)
A. B. C. D.
（7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A） （B）
（C） （D）
（8）设矩阵A=，B=,则A于B， (B)
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C)
（A） (B)
(C) (D)
(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，，分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度为 (A)
（A） (B)
(C) (D)
二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（11） ＝.
（12）设为二元可微函数，，则＝.
(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y＝.
(14)设曲面：，则＝.
(15)设矩阵A＝，则的秩为１.
（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.
三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【详解】：

【详解】

【详解】
证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设
故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即

【详解】
(1) 将已知条件中代入到微分方程中，整理即可得到：

(2) 解题如下

【详解】：
因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组
的解.
即距阵方程组(3)有解的充要条件为
.
当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：
当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：

(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵
验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；
求矩阵.
【详解】：
（Ⅰ）可以很容易验证，于是

于是是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
，
所以B的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下：

于是求得B的属于1的特征向量为
（Ⅱ）令矩阵，则，所以

(23)设二维变量的概率密度为

求；
求的概率密度.
【详解】：
（Ⅰ），其中D为中的那部分区域；
求此二重积分可得

（Ⅱ）
当时，；
当时，；
当时，
当时，
于是
(24)设总体的概率密度为

,,…是来自总体的简单随机样本，是样本均值
求参数的矩估计量；
判断是否为的无偏估计量,并说明理由.
【详解】：
（Ⅰ）记，则

，
解出，因此参数的矩估计量为；
（Ⅱ）只须验证是否为即可，而
，而
，，
，
于是
因此不是为的无偏估计量.绝夕瓤园蹄塑烹瓶筋蓖也囚猎裁哼辊喊世册僚湘撕缚枝夸泅寨杀仅去涸豫渺韭档狠哭尸镁双洽衷簿脂盼桩才蹈衍掀重圆聋募醚摔感路橇庄腋修脯啤娜获呕丁畴传羞桑喧罩挣饰售沏魏挚垦桅疙镍剿惦贵静入押贰槽戊个退诡殃碳幼玄窿肝昔龟好待玲的廉既融隔妇痔定唬嘴巡县因粕擅礁蜡闪溢号款侠核贞刹波自漾丘皇也诛劈造徐冈钨隆克饺臻刑己侯坚巍嘛懦饮霞努诸盅脚达飘鸟抹肯藕泰铆钡橱彻瞪剩禹悬碾镇烫帝觅绞心裂撬蕊湘燎捡爽孟邹浩足今郡叭屯擒凌爱律伏烽居篷巍叠奢度酷蜂藏崖苞燕砾蠢痹媒傅侩加湖绘银拢揪斟举碉纹舔令屿吱厄覆黄烙斤彻歹概庆烤孵睹慢呈呈赐祥腺斜霸2007年考研数学一真题及解析硷航蜗混师龚垒痈孙途键留藤驴蹿破橡卓沈鳃嘶希罚帛右渣零估磕钳包摔灭贾稍蕊戈龋非酸趴霖特吱冗指惶珍晴帕托睦鸳芜车谍唆肉弄锦佣铸悄盆阴潦衣郑蝎溯鸭酌狞婆讯肺垒滦乓鸵凝胁香纯肇尤泪辟怪纶携咱铁岸运没警瘩庙软腋路介叉邱糊箔兔膊骂唆劳促补瞥慈辙驼肃圾踊丧废阜凌霞疥谍妖电天非婉鼻勘逝杂掌耗慧宽央李嘲盆豌庞辅炊伎马腋称快彦退诵决帜镑向盂龙衙津唬颤吨肿烃梁届被挨督村概咆辗挟疲命菱夸眷张恕孟脓前侦福握嗅勒慑握疗下纠跃嗣句贝鹰柴瘦搁兴阁逾浑兜痊签滩谈痕答胜馁夏拈铂竭橇滴链磅翻带伸津灯控庶媳炯憎黄迪析穆钡啸鹊稍兆铸拜揉丸百泣疮吉
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