实变函数试题库(3)及参考答案.pdf

实变函数试题库及参考答案（实变函数试题库及参考答案（3）本科本科一、填空题 1设为集合，则 ,A BB ABAIUABU2设为无理数集，则 （其中表示自然数集的基数）AAcc0,13设，如果中没有不是内点的点，则称是 nE EE4任意个闭集的交是 5设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，f xE1a E x af xb（）则称在上 ab f xE6可测函数列的上确界也是 7设，则 nfxf x ngxg x.ae nnfxgx 8设，那么由黎斯定理，有子列，使 于 nfxf x nfx knfx.aeE二、选择题1下列集合关系成立的是（）AccAAIIBccAAIU CccAAIUDcccAAIU2设，则()nRE AEEBEECEEDEE3设为康托集，则（）P 是可数集 是不可数集 是开集A PB0mP CPDP4下列集合关系成立的是（）若则 若则AABccBABABccAB 若则 若则CABABBIDABABBU三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设是狄利克莱函数，即，则（）D x 10,100,1xD xx为中有理数为中无理数 几乎处处等于 几乎处处等于A D x1B D x0 是非负可测函数 是可积函数C D xD D xL2设，则（）nE *0m E 是可测集 的任何子集是可测集 是可数集 不一定是可数集A EBECEDE3设，则（）nE 10EcxExxE 当是可测集时，是可测函数 当是可测函数时，是可测AE ExB ExE集 当是不可测集时，可以是可测函数 CE Ex 当是不是可测函数时，不一定是可测集D ExE4设是上的连续函数，则（）f x,a b 在上有界 在上可测A f x,a bB f x,a b 在上可积 在上不一定可积C f x,a bLD f x,a bL四、判断题1.对等的集合不一定相等.（）2.称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集.（）,f xg xE f xg xx3.可数个开集的交是开集 （）4.可测函数不一定是连续函数.（）5.对等的集合有相同的基数.（）五、定义题1.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.2.简述中开集的结构.1R3.可测集与闭集、集有什么关系？F4.为什么说绝对连续函数几乎处处可微？六、计算题1.设，为中有理数集，求.3cos0,2xxEf xxxEE0,2 0,2f x dx2.设，求.22cos,0,11nnxnxfxxn x 0,1limnnfx dx七、证明题1设是上的可测函数，则对任何常数，有()f xE0a()|()af xEmE x f xaeedx2设是上的可积函数，为的一列可测子集，如果()f xEnEEmE limnnmEmE则lim()()nEEnf x dxf x dx3证明集合等式：()()()ABCA CB CUU4设是零测集，则的任何子集是可测集，且nEREF0mF 5.证明：上的实值连续函数必为上的可测函数1R f x1R本科实变函数试题库及参考答案（本科实变函数试题库及参考答案（3）1、填空题1.=2.=3.开集 4.闭集 5.可测 6.可测函数 7.8.f xg x knfxf x二、单选题1.B 2.A 3.B 4.A三、多选题1.BCD 2.ABD 3.AB 4.BD四、判断题 五、定义题1.答：若，又，则ABB:BAA:AB:2.答:设为中开集，则可表示成中至多可数个互不相交的开区间的并.G1RG1R3.答：设是可测集，则，闭集，使或 集，E0 FEm E FFFE使.0m E F 4.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.六、解答题1.解：因为，所以于0mE cos,.f xx ae0,1于是 0,0,22cosf x dxxdx而在上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式cosx0,2 22000,1coscossin|1xdxRxdxx因此 0,21f x dx2.解：因为在上连续，所以可测 nfx0,11,2,n L又 2222cos1,0,1,1,2,1122nnxnxnxnxfxxnn xn xnxL而，所以.22lim01nnxn x lim0nnfx因此由有界控制收敛定理 0,10,10,1limlim00nnnnfx dxfx dxdx七、证明题1.证明 因为在上可测，所以是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性()f xE()f xe质，()()|()|()af xf xE x f xaE x f xaEe dxedxedx而，|()|()aaE x f xae dxemE x f xa所以 ()|()af xEmE x f xaeedx2.证明 因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，()f xEL00对任何，当时有，由于，故对上述的AEmA|()|Af x dxlimnnmEmE，存在，当时，且有，于是00k0nknEE()nnmEmEm EE ，|()()|()|nnEEE Ef x dxf x dxf x dx即 lim()()nEEnf x dxf x dx3.证明 ()()()()()()cccABCABCACBCA CB CUUIIUIU4.证明 设，由外测度的单调性和非负性，所以 FE*0m E*00m FmE ，于是由卡氏条件易知是可测集*0m F F5.证明 ，不妨假设，因为是上的连续函数，故是1,a bRab f x1R f x上的连续函数，记，由在上连续，则，使,a b,Fa b f xF,M m mM，则显然易证，是闭集，即为上的可测 mf xM1,R F f f x,a b函数，由的任意性可知，是上的可测函数.,a b f x1R