1、一一 问题的提出问题的提出二二 第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）三三 第二类换元法第二类换元法四四 小结小结五五 思考与判断题思考与判断题第二节第二节 换元积分法换元积分法(Substitution Rules)2024/4/21 周日周日1但是但是解决方法解决方法利用复合函数，利用复合函数，设置中置中间变量量.令令一一 问题的提出问题的提出我们知道我们知道2024/4/21 周日周日2令令 利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积
2、分，利用中间变量的代换，法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法得到复合函数的积分法，称为换元积分法。目的是去掉根式。目的是去掉根式。2024/4/21 周日周日3若若则设（且可微，根据复合函数微分法，）（且可微，根据复合函数微分法，）于是可得下述定理于是可得下述定理二二 第一类换元法第一类换元法2024/4/21 周日周日4注意注意 使用此公式的关使用此公式的关键在于将在于将第一第一类换元公式（元公式（凑微分法凑微分法）定理定理1 1第一类换元法又称为凑微分法。第一类换元法又称为凑微分法。2024/4/21 周日周日5例例1 1 求求解解2024/4/
3、21 周日周日6例例2 2 求求解解2024/4/21 周日周日7例例3 3 求求解解熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行转化了转化了2024/4/21 周日周日8例例4 4 求求解解2024/4/21 周日周日9例例5 5 求求解解2024/4/21 周日周日10例例6 6 求求解解例例7 7解解正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开放在微分号放在微分号后面后面。2024/4/21 周日周日11 解解例例8 8 求求2024/4/21 周日周日12例例9 9 求求2024/4/21 周日周日13例例1010 求求解解2024/4/21 周日周日1
4、4例例1 11 求求解解说明说明当被当被积函数是三角函数相乘函数是三角函数相乘时，拆开奇，拆开奇次次项去凑微分去凑微分.2024/4/21 周日周日15例例1212 求求解解利用三角学中的利用三角学中的积化和差公式，得化和差公式，得2024/4/21 周日周日16解解类似地可推出似地可推出例例1313 求求2024/4/21 周日周日17三三 第二类换元法第二类换元法第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分下面介绍的第二类换元法是通过变量替下面介绍的第二类换元法是通过变量替换换 将积分将积分2024/4/21 周日周日18证证设 为 的原函数的原函数,令令则则有换元公
5、式则有换元公式定理定理2 22024/4/21 周日周日19第二第二类积分分换元法元法2024/4/21 周日周日20例例1313 求求解解1 1 三角代换三角代换2024/4/21 周日周日21例例1414 求求解解 令令2024/4/21 周日周日22例例1515 求求解解 令令注注三角代三角代换的目的是化掉根式的目的是化掉根式.2024/4/21 周日周日23例例1616 求求解解令令2 2 根式代换根式代换考考虑到被到被积函数中的根号是困函数中的根号是困难所在，故所在，故2024/4/21 周日周日24当被当被积函数含有两种或两种以上的函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可，可采用令
6、采用令 （其中（其中 为各根指数各根指数的最小公倍数）的最小公倍数）例例1717 求求解解 令令2024/4/21 周日周日253 3 其他形式代换其他形式代换注注1 积分中分中为了化掉根式除采用上述代了化掉根式除采用上述代换外外还可用双曲代可用双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式 中中,令令2024/4/21 周日周日26注注2 2 倒数代换倒数代换 也是常用的代换之一也是常用的代换之一 例例1818 求求令令解解2024/4/21 周日周日27例例1919 求求解解令令分母的次幂太高分母的次幂太高2024/4/21 周日周日282024/4/21 周日周日29基基本本积积分分表表续续2024/4/21 周日周日302024/4/21 周日周日31四四 小结小结两两类积分分换元法：元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代三角代换、根式代、根式代换、倒数代、倒数代换三角代三角代换常有下列常有下列规律律可令可令可令可令可令可令2024/4/21 周日周日32五五 思考与判断题思考与判断题122024/4/21 周日周日33
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