1、8.2 偏 导 数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法 类似地 可定义函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y的偏导数v偏导数的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 若极限存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作 一、偏导数的定义及其计算法v偏导数的定义 v偏导数的符号 如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么f(x y)对x的偏导数是x、y的函数 这个函数称为函数zf(x y)对x的偏导函数(简称偏导数)记作v偏导函数一、偏导数的定义及其计算法v偏导数的定义 v偏导数
2、的符号 v偏导函数v偏导函数的符号 v偏导函数 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如 三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 v偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时 只要把其它自变量看作常数 然后按一元函数求导法求导即可 v偏导函数讨论 下列求偏导数的方法是否正确？例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数 解 例2 求zx2sin2y的偏导数 解 解 证 例3 例4 证 本例说明一个问题 偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)求证v
3、偏导数的几何意义 fx(x0 y0)f(x y0)x fy(x0 y0)f(x0 y)y zf(x y0)zf(x0 y)是截线zf(x y0)在点(x0 y0)处的切线Tx对x轴的斜率 是截线zf(x0 y)在点(x0 y0)处的切线Ty对y轴的斜率 v偏导数的几何意义v偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如但函数在点(0 0)并不连续在点(0 0)有fx(0 0)0 fy(0 0)0 提示：提示：当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有 因此 函数f(x y)在(0 0)的极限不存在 当然也不连续 二、高阶偏导数v二阶偏导数 如果函数zf(x y)的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 函数zf(x y)的二阶偏导数有四个其中fxy(x y)、fyx(x y)称为混合偏导数 类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数 解 此例中两个混合偏导数是相等的 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 定理 解 证 例7 证 例8 提示 证 例8
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