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第三节 导线测量的内业计算

导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x、y。
计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。

一、坐标计算的基本公式
1．坐标正算

根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，已知直线AB起点A的坐标为（xA，yA），AB边的边长及坐标方位角分别为DAB和αAB，需计算直线终点B的坐标。
直线两端点A、B的坐标值之差，称为坐标增量，用ΔxABΔyAB表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：
（6-1）
根据式（6-1）计算坐标增量时，sin和cos函数值随着α角所在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。
表6-5 坐标增量正、负号的规律
象限
坐标方位角α
Δx
Δy
Ⅰ
0?～90?
＋
＋
Ⅱ
90?～180?
－
＋
Ⅲ
180?～270?
－
－
Ⅳ
270?～360?
＋
－
则B点坐标的计算公式为：
（6-2）

例6-1 已知AB边的边长及坐标方位角为，若A点的坐标为，试计算终点B的坐标。
解 根据式（6-2）得

2．坐标反算
根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB两端点的坐标分别为（xA，yA）和（xB，yB），则直线边长DAB和坐标方位角αAB的计算公式为：
（6-3）
（6-4）
应该注意的是坐标方位角的角值范围在0?～360?间，而arctan函数的角值范围在－90?～＋90?间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx、Δy的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。
例6-2 已知A、B两点的坐标分别为

试计算AB的边长及坐标方位角。
解 计算A、B两点的坐标增量

根据式（6-3）和式（6-4）得

 二、闭合导线的坐标计算
现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步骤。

1．准备工作
将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。
2．角度闭合差的计算与调整
（1）计算角度闭合差 如图6-11所示，n边形闭合导线内角和的理论值为：
（6-5）
式中 n——导线边数或转折角数。
由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和 不等于理论值 ，两者之差，称为角度闭合差，用fβ表示，即
（6-6）
（2）计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值fβp见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值fβp的计算公式为：
（6-7）
如果＞，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重新检查或重测。
如果≤，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。
（3）计算水平角改正数 如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数vβ，vβ的计算公式为：
（6-8）
计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即

（4）计算改正后的水平角 改正后的水平角βi改等于所测水平角加上水平角改正数
                                                        （6-9）
计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n－2）×180?，本例为540?。
本例中fβ、fβp的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。
3．推算各边的坐标方位角
根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的坐标方位角。
本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。
计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。
4．坐标增量的计算及其闭合差的调整
（1）计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边的坐标增量。例如，导线边1-2的坐标增量为：
用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。
（2）计算坐标增量闭合差 如图6-12a所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，即
（6-10）

实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调整后的残余误差，使得实际计算所得的、不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差Wx和横坐标增量闭合差Wy，即

（6-11）
（3）计算导线全长闭合差WD和导线全长相对闭合差WK 从图6-12b可以看出，由于坐标增量闭合差Wx、Wy的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度WD称为导线全长闭合差，并用下式计算:

WD= （6-12）
仅从WD值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将WD与导线全长∑D相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差WK，即
（6-13）
以导线全长相对闭合差WK来衡量导线测量的精度，WK的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值WKP参见表6-3和表64，图根导线的WKP为1/2 000。
如果WK＞WKP，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要时须重测。
如果WK≤WKP，说明测量成果符合精度要求，可以进行调整。
本例中Wx 、Wy、WD及WK的计算见表6-6辅助计算栏。
（4）调整坐标标增量闭合差 调整的原则是将Wx 、Wy反号，并按与边长成正比的原则，分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以vxi、vyi分别表示第i边的纵、横坐标增量改正数，即
（6-14）
本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：

用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。
计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下式
（6-15）
（5）计算改正后的坐标增量 各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改正后的坐标增量。
（6-16）
本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：

用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。
计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。
5．计算各导线点的坐标
根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的坐标增量，按下式依次推算出各导线点的坐标：
（6-17）
将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12栏内。最后还应再次推算起始点1的坐标，其值应与原有的已知值相等，以作为计算检核。
表6-6 闭合导线坐标计算表

点号
观测角
（左角）
改正数
″
改正角
坐标方位角α
距离D
/m
增量计算值
改正后增量
坐标值
点
号

Δx/m
Δy/m
Δx/m
Δy/m
x/m
y/m

1
2
3
4=2+3
5
6
7
8
9
10
11
12
13

1

335°24′00″
201.60
+5
+183.30
+2
-83.92
+183.35
-83.90
500.00
500.00
1

2
108°27′18″
-10″
108°27′08″
683.35
416.10
2

263°51′08″
263.40
+7
-28.21
+2
-261.89
-28.14
-261.87

3
84°10′18″
-10″
84°10′08″
655.21
154.23
3

168°01′16″
241.00
+7
-235.75
+2
+50.02
-235.68
+50.04

4
135°49′11″
-10″
135°49′01″
419.53
204.27
4

123°50′17″
200.40
+5
-111.59
+1
+166.46
-111.54
+166.47

5
90°07′01″
-10″
90°06′51″
307.99
370.74
5

33°57′08″
231.40
+6
+191.95
+2
+129.24
+192.01
+129.26

1
121°27′02″
-10″
121°26′52″
500.00
500.00
1

335°24′00″

2

∑
540°00′50″
-50″
540°00′00″

1137.80
-0.30
-0.90
0
0

辅
助
计
算

＜

三、附合导线坐标计算
附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量闭合差的计算方面稍有差别。
1．角度闭合差的计算与调整
（1）计算角度闭合差 如图6-13所示，根据起始边AB的坐标方位角及观测的各右角，按式（4-19）推算CD边的坐标方位角。

写成一般公式为：

（6-18）
若观测左角，则按下式计算：
（6-19）
附合导线的角度闭合差fβ为：
（6-20）
（2）调整角度闭合差 当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。
2．坐标增量闭合差的计算
附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差即
（6-21）
纵、横坐标增量闭合差为：
（6-22）
图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。
表6-7 附合导线坐标计算表
点
号
观测角
（右角）
改正数
改正角
坐标方位角
α
距离D
/m
增量计算值
改正后增量
坐标值
点
号

Δx/m
Δy/m
Δx/m
Δy/m
x/m
y/m

1
2
3
4=2+3
5
6
7
8
9
10
11

12
13

A

236°44′28″

A

B
205°36′48″
－13″
205°36′35″
1 536.86
837.54

B

211°07′53″
125.36
＋4
－107.31
－2
－64.81
－107.27
－64.83

1
290°40′54″
－12″
290°40′42″
1 429.59
772.71

1

100°27′11″
98.76
＋3
－17.92
－2
＋97.12
－17.89
＋97.10

2
202°47′08″
－13″
202°46′55″
1 411.70
869.81

2

77°40′16″
114.63
＋4
+30.88
－2
＋141.29
＋30.92
＋141.27

3
167°21′56″
－13″
167°21′43″
1 442.62
1 011.08

3

90°18′33″
116.44
＋3
－0.63
－2
＋116.44
－0.60
＋116.42

4
175°31′25″
－13″
175°31′12″
1 442.02
1 127.50

4

94°47′21″
156.25
＋5
－13.05
－3
＋155.70
－13.00
＋155.67

C
214°09′33″
－13″
214°09′20″
1 429.02
1 283.17

C

60°38′01″

D

D

∑
1 256°07′44″
－77″
1 256°06′25″

641.44
－108.03
＋445.74

－107.84
＋445.63

辅
助
计
算

辅 助 计 算

＜

三、支导线的坐标计算
支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为：
1．根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。
2．根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。
3．根据各边的坐标增量推算各点的坐标。