4线性规划剖析.pptx

数学规划建模数学规划建模浙江理工大学理学院 数学科学系 引例引例1:生产计划问题生产计划问题 某厂需安排A1,A2,A5共5种产品，所需原材料为3种：B1,B2,B3，且已知：（1）每单位产品Aj需耗用材料Bi共aij,(2）每单位产品Aj可获利cj，（3）按上级要求，A1,A2两种产品的和不多于产品A3的2倍，且产品A4不多于d个单位，（4）原料Bi的总量不超过bi，（5）所有产品均供不应求，可全部销售出去。试问该厂应如何安排生产，使得总利润最大？设产品Aj的产量为xj单位，那么产品Aj可获利cjxj，则总的利润为c1x1+c2x2+.+c5x5,该厂追求的目标利润最大。设总利润为Z，则有但是，这几个量必须满足以下限制（约束条件）：（1）原材料总量的约束：(2)产品间比例及数量约束：（3）产品的数量不能是负数：问题变成了：在若干个线性不等式约束之下的求线性函数的极大值问题模型引例引例2：合理下料问题合理下料问题 某建筑工地需制作一批直径相同的钢筋套件，其规格及数量为：长度3m的共90根，长度4m的共60根。已知用于下料的螺纹钢原料每根长10m。问应该如何下料才合理？试建立数学模型。方法一：截成3根3m的钢筋，剩下残料1m。方法二：截成2根3m，1根4m的钢筋，无残料。方法三：截成2根4m的的钢筋，剩下残料2m。其余的方法明显不合理，可不予考虑。根据原料长度及所需钢筋的长度要求，每根原料可以按如下3种方法下料：取根原料螺纹钢按方式下料 于是，可获得：3m钢筋根数：4m钢筋根数：残料总长度（m)：一般来说，显然在满足配套成90根3m钢筋，60根4m钢筋，总会剩下部分长度为3m和4m的短钢筋，现分别设为根和根，即 选取的标准为：使残料及配套后剩下的短钢筋的总长度最小。设此总长度为Z，则合理下料问题的数学模型为：进一步思考：进一步思考：1，上述一维下料问题的一般形式？，上述一维下料问题的一般形式？需要需要m种材料（部件）种材料（部件）A1，A2,Am，数量分别为，数量分别为bj，对一件长的原，对一件长的原材料可得出材料可得出k种不同的切割方法，种不同的切割方法，nij表示第表示第i种方法得到种方法得到Aj部件的数量。部件的数量。用用xi表示按第表示按第i种截法的原材料数量，则该问题的模型为：种截法的原材料数量，则该问题的模型为：2，如果切割方法不易列举，怎么办如果切割方法不易列举，怎么办？可以把下料方式作为约束条件，放在规划中一起解决。可以把下料方式作为约束条件，放在规划中一起解决。假设用到假设用到k种下料方式，用种下料方式，用xi（i=1,2,k）表示按第）表示按第i种截法的原材料种截法的原材料数量，是非负整数。数量，是非负整数。用用nij（非负整数）表示第（非负整数）表示第i种方法得到部件种方法得到部件j(j=1,2,m)的数量，的数量，bj表示第表示第j种部件的需求量，种部件的需求量，L表示钢管原料的长表示钢管原料的长度，度，lj表示部件长度。则下料方式应该满足以下条件：切割出的部件总表示部件长度。则下料方式应该满足以下条件：切割出的部件总长小于等于长小于等于L；且余料小于；且余料小于 minlj。则该问题的数学模型为：。则该问题的数学模型为：投资的收益和风险投资的收益和风险二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定三、模型的建立与分析三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max qixi|i=1，2,n4.模型简化：四、模型四、模型1 1的求解的求解 由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：计算结果：计算结果：五、五、结果分析结果分析4 4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润 增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对 于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最 优投资组 合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:风险度 收益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.22123.3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最 小风险对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。2 2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。1.1.风险大，收益也大。问题问题:一幢楼房的后面是一个很大的花园.在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台.清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上.因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗?能满足要求的梯子的最小长度为多少?梯子长度问题梯子长度问题要求与提示要求与提示:（1 1）设温室宽为a，高为b,梯子倾斜的角度为x，当梯子与温室顶端处恰好接触时，梯子的长度L只与x有关。试写出函数L(x)以及定义域。（2 2）将a,b赋值，画出L(x)的图形，注意此处的x是有范围的。（3 3）在此基础上，求解本问题。（4 4）若取a=2,b=2.8，看结果有何变化？进一步讨论进一步讨论:一条1m宽的通道与另一条2m宽的通道相交成直角，一个梯子需要水平绕过拐角，试问梯子的最大长度是多少？