1、
专训2 垂径定理的四种应用技巧
名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．
巧用垂径定理求点的坐标
1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
(第1题)
巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
2．如图，AB，CD是半径为5
2、的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．
(第2题)
巧用垂径定理计算
3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.
(1)求AB的长；
(2)求⊙O的半径．
(第3题)
巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
3、
答案
1．解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.
∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，
∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.
又∵MN⊥CD，
∴CN＝DN＝CD＝4.
易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.
在Rt△MNC中，MN＝＝＝3.
∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1.
∴点C的坐标为(1，3)．
(第1题)
(第2题)
2．解：如图，易知点C关于MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连
4、接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7.即PA＋PC的最小值为7.
点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．
3．解：(1)连接AC，
∵CD为⊙的直径，CD⊥AB，
∴AF＝BF，
∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G，则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，
∴BE＝CE，
∴AC＝AB.
∴AB＝BC＝2.
(2)由(1)知AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE⊥BC，
∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.
5、
即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，AF＝，
易得OA＝2，即⊙O的半径为2.
(第4题)
4．解：如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．
设OA＝r米，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，AD＝AB＝3.6米．
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.
在Rt△OHN中，OH＝＝＝3.6(米)．
所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．
因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．
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