平面的概念及表示-PPT.ppt

平面的概念及表示平面的概念及表示一、平面的特征一、平面的特征“平面平面”是最基本的几何概念，对它只能描是最基本的几何概念，对它只能描述而不加定义。述而不加定义。特点：特点：“平平”,“无限伸展无限伸展”,“无大小无大小”,“无厚薄无厚薄”【练习练习】判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？(1)平行四边形是一个平面平行四边形是一个平面.(2)一个平面的面积是一个平面的面积是100cm2.(3)两个平面叠在一起比一个平面厚两个平面叠在一起比一个平面厚.(4)一个平面把空间分成了两部分一个平面把空间分成了两部分.2二、平面的表示方法二、平面的表示方法1几何表示：一般用平行四边形表示几何表示：一般用平行四边形表示;但在特但在特殊情况下殊情况下,也可以用三角形或其它图形来表示也可以用三角形或其它图形来表示.注意：注意：(1)当平面水平放置时，通常把平行当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成四边形的锐角画成45，横边画成邻边的，横边画成邻边的2倍长；倍长；(2)画直线与平面或平面与平面相交时，被画直线与平面或平面与平面相交时，被遮挡的部分画成虚线或不画。遮挡的部分画成虚线或不画。Pl.32字母表示：字母表示：用希腊字母用希腊字母,来表示来表示;例例:平面平面(注意注意:“平面平面”二字不能省略二字不能省略)用图形的顶点字母来表示用图形的顶点字母来表示;例例:平面平面ABCD;用平行四边形的一条对角线的顶点字母来用平行四边形的一条对角线的顶点字母来 表示表示;例例:平面平面AC;A AD DC CB B二、平面的表示方法二、平面的表示方法4 长方体是我们非常熟悉的空间几何图长方体是我们非常熟悉的空间几何图形，有形，有8个顶点，个顶点，12条棱，条棱，6个面。你能发个面。你能发现图中的点、线、面之间有哪些位置关系现图中的点、线、面之间有哪些位置关系呢？请举例说明呢？请举例说明.5三、点、线、面的基本位置关系的符号表示三、点、线、面的基本位置关系的符号表示 从运动的观点看，点动成线，线动成从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系亦可借用集合中合，因此它们之间的关系亦可借用集合中的符号来表示。的符号来表示。AaaAA a6大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安继续保持安静静7AAAaba8aaA9例例1、如图，用符号表示下列图形中点、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系直线、平面之间的位置关系aABabPl10四、练习四、练习:1.将下列文字语言转化为符号语言：将下列文字语言转化为符号语言：(6)点点A在平面在平面内，但不在平面内，但不在平面内；内；(7)直线直线a经过平面经过平面外一点外一点M；(8)直线直线l在平面在平面内，又在平面内，又在平面内。内。(1)点点A、B在直线在直线a上；上；(2)点点C在平面在平面内；内；(3)直线直线a在平面在平面内；内；(4)点点O不在平面不在平面内；内；(5)直线直线b不在平面不在平面内；内；11 长方体是我们非常熟悉的空间几何长方体是我们非常熟悉的空间几何图形图形.你能发现图中的点、线、面之间你能发现图中的点、线、面之间有哪些位置关系呢？有哪些位置关系呢？12例例2 三个平面可以将空间分为多少部分？三个平面可以将空间分为多少部分？4或或6或或7或或8部分部分ABlABl13作业：作业：P511、2、814平平 面面 15P51 作业lABCD1.2ABAB8.解解:共分为共分为:39=279=27部分部分.16桌面桌面 AB观察下图，你能得到什么结论？观察下图，你能得到什么结论？17桌面桌面 ABABl观察下图，你能得到什么结论？观察下图，你能得到什么结论？18 公理公理1 如果一条直线上两点在一个平如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内这个平面内(即直线在平面内即直线在平面内).桌面桌面 AB观察下图，你能得到什么结论？观察下图，你能得到什么结论？ABl19一、平面的基本性质一、平面的基本性质公理公理1：如果一条直线：如果一条直线的两点在一个平面内的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有那么这条直线上的所有点都在这个平面内点都在这个平面内.A AB B说明：说明：也叫做直线在平面内或平面经过直线。也叫做直线在平面内或平面经过直线。这是判断一条直线是否在平面内的依据这是判断一条直线是否在平面内的依据用图形表示时用图形表示时,表示直线的线段一定要画表示直线的线段一定要画在表示平面的平行四边形内部在表示平面的平行四边形内部.图形表示图形表示20观察下图，你能得到什么结论？观察下图，你能得到什么结论？BCA21BCABCA观察下图，你能得到什么结论？观察下图，你能得到什么结论？22 公理公理2 过不在同一直线上的三点，有过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面且只有一个平面.BCABCA观察下图，你能得到什么结论？观察下图，你能得到什么结论？23公理公理2：过不在一条直线上的三点，有且只：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面有一个平面.说明：说明：可以叙述为可以叙述为:不共线的三点确定一平面；不共线的三点确定一平面；这是确定一个平面的依据这是确定一个平面的依据;“有且只有有且只有”和和“确定确定”的含义包括两方的含义包括两方面面,一是存在性一是存在性,二是唯一性二是唯一性;这三点必须是不共线的这三点必须是不共线的;图形表示：图形表示：.C.B.A24【练习练习】判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？(1)三点确定一个平面三点确定一个平面;(2)一个圆周上的三点可以确定一个平面一个圆周上的三点可以确定一个平面;(3)如果两个平面有三个不共线的公共点如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合那么这两个平面就重合;公理公理2：过不在一条直线上的三点，有且：过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面只有一个平面.C.B.A25推论推论2 经过两条相交直线，有且只有一经过两条相交直线，有且只有一个平面。个平面。推论推论3 经过两条平行直线，有且只有一经过两条平行直线，有且只有一个平面。个平面。推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点，经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。有且只有一个平面。ABC公理公理2 经过不共线的三点，有且只有一经过不共线的三点，有且只有一个平面。个平面。.ABC26公理公理3：如果两个不重合的平面有一个公共：如果两个不重合的平面有一个公共点点,那么它们有且只有一条过公共点的公共那么它们有且只有一条过公共点的公共直线直线图形表示：图形表示：Pl.这条公共直线叫做这两个平面的交线这条公共直线叫做这两个平面的交线,称这两个平面相交称这两个平面相交,记作记作=l.说明：说明：这是判断两个平面相交的依据这是判断两个平面相交的依据.27【练习练习】1.判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？(1)两个平面相交至少有两个公共点两个平面相交至少有两个公共点;(2)两个平面相交两个平面相交,它们只有有限个公共点它们只有有限个公共点;(3)过一条直线的平面有无数个过一条直线的平面有无数个;(4)两个平面的交线可能是一条线段两个平面的交线可能是一条线段;(5)两个相交平面有不在同一直线上的公共点两个相交平面有不在同一直线上的公共点;(6)两个平面有无数个公共点两个平面有无数个公共点,则它们重合。则它们重合。图形表示：图形表示：Pl.28判断题：判断题：（1）经过空间中一个点和一条直线只能作一个平）经过空间中一个点和一条直线只能作一个平面。面。（）（）（2）若平面和有一条公共直线）若平面和有一条公共直线L和一个公共点和一个公共点P，则则P；()（3）三条直线两两相交，则它们在同一个平面内）三条直线两两相交，则它们在同一个平面内 （）（4）三条直线两两平行，则它们在同一个平面内）三条直线两两平行，则它们在同一个平面内 （）（5）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合重合 （）29二二、选择题、选择题1经过同一条直线上三个点的平面经过同一条直线上三个点的平面 （）A 有且只有有且只有1个个 B 有且只有有且只有3个个 C 有无数个有无数个 D 只有只有0个个2直线直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面共有（两条直线的平面共有（）A 1个个 B 3个个 C 0个个 D 6个个3过不共面的过不共面的4个点中的个点中的3个点的平面共有（个点的平面共有（）A 0个个 B 3个个 C 4个个 D 无数个无数个4空间可以确定一个平面的条件是（空间可以确定一个平面的条件是（）A 两条直线两条直线 B 一点和一直线一点和一直线 C 一个三角形一个三角形 D三个点三个点CBCC305已知平面已知平面与与、都相交，则这三个平面可都相交，则这三个平面可能的交线有（能的交线有（）A 1条或条或2条条 B 2条或条或3条条 C 1条或条或3条条 D 1条或条或2条或条或3条条C317下列说法中正确的是（下列说法中正确的是（）A 空间的三个点确定一平面空间的三个点确定一平面 B 四边形一定是平面图形四边形一定是平面图形 C 梯形一定是平面图形梯形一定是平面图形 D 六边形一定是平面图形六边形一定是平面图形8下列的命题下列的命题1）两条直线确定一个平面，）两条直线确定一个平面，2）点点A在平面在平面内，也在直线内，也在直线a上，则直线上，则直线a在平在平面面内，内，3）平面）平面和和相交于不在同一条直线相交于不在同一条直线上的三个点上的三个点A、B、C；4）三条直线两两平行，）三条直线两两平行，则最多可确定三个平面。其中正确的有（则最多可确定三个平面。其中正确的有（）A 0 B 1 C 2 D 3CB322.小结小结:平面的基本性质平面的基本性质:公理公理1：如果一条直线的两点在一个平面内：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理公理2：过不在一条直线上的三点，有且：过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面只有一个平面.推论推论2 两条相交直线确定一个平面。两条相交直线确定一个平面。推论推论3 两条平行直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。推论推论1 一条直线和外一点确定一个平面。一条直线和外一点确定一个平面。公理公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过公共点的公共直线那么它们有且只有一条过公共点的公共直线333、练习：、练习：P.43：练习：练习：1、2、3、(2)描述三个公理的三种语言：文字语言、描述三个公理的三种语言：文字语言、图形语言、符号语言。图形语言、符号语言。4、作业：、作业：P.51习题习题2.1：3(1)、(2),7再见再见!要努力啊要努力啊345.空间平行线的传递性空间平行线的传递性公理公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行即即 a b,b c,则则a c说明说明:公理公理4是判断空间两直线平行的依据是判断空间两直线平行的依据例例1 如图，如图，定义定义:若若A、B、C、D四点不共面，四点不共面，顺次连接四点得四边形顺次连接四点得四边形ABCD是称作空间四是称作空间四边形。若边形。若空间四边形空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：的中点，求证：四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 若再加条件若再加条件AC=BD，则四边形，则四边形EFGH是什么图形？是什么图形？3536例例:请你作出长方体请你作出长方体ABCD-A1B1C1D1两个对两个对角面角面AA1C1C和和BB1D1D的交线的交线.O1O解解:设设AC与与BD相交于相交于O,A1C1与与B1D1相交相交于于O1,连结连结OO1,即为所求即为所求.证明证明:37一、共线问题：一、共线问题：证明证明A、B、C三点共线，一三点共线，一般先证直线般先证直线AB是平面是平面、的的交线；再证点交线；再证点C C是是与与的公共的公共点，从而点点，从而点C C在在ABAB上，所以上，所以A A、B B、C C三点共线。三点共线。例例4.若空间四边形若空间四边形ABCD的的四边四边AB、BC、CD、DA上上各有一点各有一点P、Q、R、S，且，且直线直线PS与与QR交于点交于点K，求，求证：证：B、D、K三点共线。三点共线。ABCDPSQRK38二、共点问题：二、共点问题：39 空间四边形空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA上的点，已上的点，已知知EH和和FG交于交于P点，求证点，求证:EH、FG、BD三线共点三线共点.例例5AEFBHDGCP40三、共面问题：三、共面问题：例例6.过直线过直线l外一点引两条直线外一点引两条直线PA、PB和和直线直线l分别相交于分别相交于A、B两点，求证：三条两点，求证：三条直线直线PA、PB、l共面。共面。41三、共面问题：三、共面问题：例例7.如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E、F分别是分别是AB、AA1的中点，求证：的中点，求证：（1）E、C、D1、F四点共面；四点共面；（2）CE、D1F、DA三线共点。三线共点。42