1、数值分析期末考试
一、 设，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数至少取几位有效数字？（4分）
解：设有位有效数字。
因为，所以可得的第一位有效数字为8（1分）
又因为，令，可知至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵的条件数（4分）。
其中
解： （1分）
=7（1分）
（1分）
（1分）
三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程组（6分）
解：
(4分)
等价三角方程组为：（1分）
回
2、代得（1分）
四、设
1）求以为节点的3次Lagrange多项式；（6分）
2）求以为节点的3次Newton多项式；（6分）
3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）
解：由可得
即得：
2）计算差商表如下：
一阶差商 二阶差商 三阶差商
1 -11
3 -1 5
-2 34 -7 4
0 -10 -22 5 -1
则
3）
五、给定方程组，其中。
试确定的取值范围，使求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。（10分）
解：1）Jacobi迭代格式的特征
3、方程为
求得
于是当且仅当时，Jacobi迭代法收敛（5分）
2）Gauss-Seidel迭代格式的特征方程为:
求得，于是得。
故当时，求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。
六、设，
求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算的一个复化求积公式。（12分）
解：1） 当时，左边==右边
当时，左边==右边
当时，左边==右边
当时，左边==右边
当时，左边=右边
因此，所给求积公式具有3次代数精度。（6分）
2）将作等分，记
（2分）
而
由此可得复化公式
=(4分)
七、求
4、在上的一次最佳平方逼近多项式。（8分）
解：令所要求的多项式为：，即取，计算
(4分)
得法方程组：
解方程组得，于是得一次最佳平方逼近多项式为
（4分）
八、写出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解（6分）
(1) 在附近的根。
(2) 在附近的根。
解：（1）
取，则 （3分）
（2）
则，
取，则 （3分）
九、已知三点Gauss公式（10分）
，用该公式估算的值。
解：令，于是有：，于是
，于是（5分）
令，就得：
（5分）
5、
十、龙格库塔（10分）
取步长，写出用经典四阶Runge-Kutta方法求解初值问题
的计算公式。
解： （1分）
（6分）
取，其经典四阶Runge-Kutta计算公式为：
（3分）
十一、用乘幂法计算矩阵按模最大特征值和相应的特征向量。取，迭代两步即可。（7分）
其中
解： （3分）
相应特征向量取（4分）
十二、设为个互异的节点，为这组节点上的次Lagrange插值基函数，证明：（8分）。
证明：对于，令，则的次Lagrange插值多项式为 （2分）
相应的余项为（2分）
由于，所以，即（2分）
从而得出
即得证（2分）
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