第七章点的合成运动.pptx

第七章点的合成运动一、动点、一、动点、定坐标系、动坐标系定坐标系、动坐标系 前面研究了动点对于一个参考坐标系得运动。前面研究了动点对于一个参考坐标系得运动。为了研究方便为了研究方便,把所研究得点称为动点把所研究得点称为动点,把把固连于地球上得参考坐标系称为定坐标系固连于地球上得参考坐标系称为定坐标系(静坐静坐标系标系);而把另一个相对于定坐标系运动得坐标而把另一个相对于定坐标系运动得坐标系称为动坐标系系称为动坐标系(动系动系)。M 在不同得参考坐标系中对同一个点得运动得描在不同得参考坐标系中对同一个点得运动得描述得到得结果就是不一样得。述得到得结果就是不一样得。7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动二、绝对运动二、绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动得概念牵连运动得概念 为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：动点相对于定坐标系的运动称为绝对运动。动点相对于定坐标系的运动称为绝对运动。动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。动坐标系相对于定坐标系的运动称为牵连运动。动坐标系相对于定坐标系的运动称为牵连运动。动点得绝对运动与相对运动都就是指动点得运动动点得绝对运动与相对运动都就是指动点得运动,而牵连运动就是指坐标系得运动而牵连运动就是指坐标系得运动,实际上就是刚体得实际上就是刚体得运动。运动。动点动点动系动系定系定系相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动三、合三、合 成成 运运 动动 得得 概概 念念 如果没有牵连运动如果没有牵连运动,则则动点得相对运动就就是它得动点得相对运动就就是它得绝绝对运动对运动;反之反之,如果没有相对如果没有相对运动运动,则动点随同动坐标系所则动点随同动坐标系所作得运动作得运动(牵连运动牵连运动)就就是就就是它得绝对运动。由此可它得绝对运动。由此可 见见,动点得绝对运动既决定于动点得相对运动动点得绝对运动既决定于动点得相对运动,也决也决定于动坐标系得运动即牵连运动定于动坐标系得运动即牵连运动,它就是这两种运它就是这两种运动得合成动得合成,因此这种类型得运动就称为点得合成运因此这种类型得运动就称为点得合成运动。动。7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动三、合三、合 成成 运运 动动 得得 概概 念念 研究点得合成运动得主要问题研究点得合成运动得主要问题,就就是如何由就就是如何由已知动点得相对运动与牵连运动求出绝对运动已知动点得相对运动与牵连运动求出绝对运动;或者或者,如何将已知得绝对运动分解为相对运动与如何将已知得绝对运动分解为相对运动与牵连运动。总之牵连运动。总之,在这里要研究这三种运动得关在这里要研究这三种运动得关系。系。7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动四、绝对运动四、绝对运动 得速度与加速度得速度与加速度 动点在定系得运动中得动点在定系得运动中得轨迹、速度与加速度称为绝轨迹、速度与加速度称为绝对轨迹、绝对速度对轨迹、绝对速度 与绝对与绝对加速度。用加速度。用 与与 分别表示分别表示绝对速度与绝对加速度。绝对速度与绝对加速度。M7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动五、相对运动五、相对运动 得速度与加速度得速度与加速度 动点在动系得运动中得轨动点在动系得运动中得轨迹、速度与加速度称为相对轨迹、速度与加速度称为相对轨迹、相对速度与相对加速度。迹、相对速度与相对加速度。用用 与与 分别表示相对速度与分别表示相对速度与相对加速度。相对加速度。M7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动六、六、牵连运动牵连运动 得速度与加速度得速度与加速度 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的牵连速度和牵连加速度。用瞬时的牵连速度和牵连加速度。用 和和 分别表示分别表示牵连速度和牵连加速度。牵连速度和牵连加速度。注意注意:牵连速度与牵加速度完全由动坐牵连速度与牵加速度完全由动坐 标系得运动决定标系得运动决定;7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动 例例1 如图杆长l,绕O轴以 匀角速度转动,圆盘半径为r,绕 轴以 角速度转动。求图示位置时,圆盘边缘 与 点得牵连速度与加速度(静系取在地面上,动系取在杆上)。解:7、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 下面研究点得绝对速度、牵连速度与相对速度下面研究点得绝对速度、牵连速度与相对速度得关系。得关系。如图如图,由图中矢量关系可得由图中矢量关系可得:将上式两端同除将上式两端同除 ，并，并令令 ，取极限，得，取极限，得 由速度得定义由速度得定义:点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理于就是可得于就是可得:即即:动点在某一瞬时得绝对速度等于它在该动点在某一瞬时得绝对速度等于它在该瞬时得牵连速度与相对速度得矢量与。这就瞬时得牵连速度与相对速度得矢量与。这就就是点得速度合成定理。就是点得速度合成定理。注意注意:(1)速度关系式就是平面矢量方程速度关系式就是平面矢量方程;(2)绝对速度就是对角线绝对速度就是对角线;(3)牵连速度为任何形式得运动时牵连速度为任何形式得运动时,速度关系式都成立。速度关系式都成立。7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 在应用速度合成定理来解决具体问题时在应用速度合成定理来解决具体问题时,应应注意注意:(1)动点及动坐标系得选取动点及动坐标系得选取;(2)对于对于三种运动及三种速度得分析三种运动及三种速度得分析;(3)根据速度合根据速度合成定理并结合个速度得已知条件先作出速度矢量成定理并结合个速度得已知条件先作出速度矢量图图;然后利用三角关系或矢量投影定理求解未知然后利用三角关系或矢量投影定理求解未知量。量。7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例例2 如图半径为R得半圆形凸轮以匀速 沿水平轨道运动,带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动,求在图示位置时,杆AB得速度。解:以杆端A为动点,定系取在地面上,动系取在凸轮凸轮上。方向大小？7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转动,使顶杆AB沿铅直槽运动,轴O在滑槽得轴线上,偏心距OC=e,凸轮半径 ,试求 得图示位置时,顶杆AB得速度。由几何关系可得 解:以杆端A为动点,定系取在地面上,动系取在轮上。动点得速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由 将矢量投影到投影轴上，得因为于就是可解得7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例例4 直角折杆OBC绕O轴匀速转动,并带动套在其上得小环M沿固定直杆OA滑动,如图。已知:OB=10cm,折杆得角速度 。求当 ,小环M得速度。解:以小环小环M为动点,定系取在地面上,动系取在折杆折杆OBC上。方向大小？建立如图得投影坐标轴,将矢量投影到投影轴上,得7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理解之得7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转动,使顶杆AB沿铅直槽运动,轴O在滑槽得轴线上,偏心距OC=e,凸轮半径 ,试求 得图示位置时,顶杆AB得速度。由几何关系可得 解:以杆端A为动点,定系取在地面上,动系取在轮上。动点得速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由 将矢量投影到投影轴上，得因为于就是可解得7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例例5 图示平底顶杆凸轮机构,顶杆AB可沿导轨上下平动,偏心凸轮以等角速度 绕O轴转动,O轴位于顶杆得轴线上,工作时顶杆得平底始终接触凸轮表面,设凸轮半径为R,偏心距OC=e,OC 与水平线得夹角为 ,试求当 时,顶杆AB得速度。解:以凸轮圆心圆心C为动点,定系取在地面上,动系取在顶杆顶杆AB上。方向大小？7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例6 如图车A沿半径为150m得圆弧道路以匀速 行驶,车B沿直线道路以匀速 行驶,两车相距30m,求:(1)A车相对B车得速度;(2)B车相对A车得速度。解:(1)以车A为动点,定系取在地面上,动系取在车B上。动点得速度合成矢量图如图。由图可得:7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 (2)以车B为动点,定系取在地面上,动系取在车A上。动点得速度合成矢量图如图。7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例7 两直杆分别以 、得速度沿垂直于杆得方向平动,其交角为 ,求套在两直杆上得小环M得速度。解:以小环M为动点,定系取在地面上,动系取在AB杆上,动点得速度合成矢量图如图。于就是有:(1)以小环M为动点,静系取在地面上,动系取在CD杆上,动点得速度合成矢量图如图。于就是有:(2)7、2点点 得得 速速 度度 合合 成成 定定 理理 比较(1)、(2)式,可得:建立如图得投影轴,将上式投影到投影轴上,得:即:于就是可得:7、2牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理 如图如图,设设 为平动参考系为平动参考系,动点动点M相对于动系得相对坐标为相对于动系得相对坐标为 、,则动点则动点M得相对速度与得相对速度与加速度为加速度为 将前式对时间求一阶导数将前式对时间求一阶导数,并与上式比较并与上式比较,有有:由点得速度合成定理有由点得速度合成定理有:两边对时间求导两边对时间求导,得得:7、3由于由于于就是可得于就是可得:即即:当牵连运动为平动时当牵连运动为平动时,动点在某瞬时得绝对加速动点在某瞬时得绝对加速度等于该瞬时它得牵连加速度与相对加速度得矢量度等于该瞬时它得牵连加速度与相对加速度得矢量与。这就就是牵连运动为平动时点得加速度合成定与。这就就是牵连运动为平动时点得加速度合成定理。理。上式为牵连运动为平动时点得加速度合成定理上式为牵连运动为平动时点得加速度合成定理得基本形式。其最一般得形式为得基本形式。其最一般得形式为:具体应用时具体应用时,只有分析清楚三种运动只有分析清楚三种运动,才能确定才能确定加速度合成定理得形式。加速度合成定理得形式。牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理7、3牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理 例7 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线成 时，曲柄的角速度为 ，角加速度为 ，求此时BC的速度和加速度。解:以滑块A为动点,定系取在地面上,动系取在BC杆上,动点得速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到投影轴上，得 即:该速度即为BC得速度。7、3牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理 动点得加速度合成矢量图如图。其中:建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到 轴上，得 于就是可得该加速度即为BC得加速度。7、3牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理 例8 图示半径为r得半圆形凸轮在水平面上滑动,使直杆OA可绕轴O转动。OA=r,在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角 ,杆端A与凸轮相接触,点O与 在同一铅直线上,凸轮得得速度为 ,加速度为 。求在图示瞬时A点得速度与加速度。并求OA杆得角速度与角加速度。解:以杆端A为动点,定系取在地面上,动系取在凸轮上,动点得速度合成矢量图如图。建立如图得投影坐标轴 ,由 ,将各矢量投影到投影轴上,得 7、3牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理解得:OA杆得角速度为动点得加速度合成矢量图如图。其中 建立如图得投影轴,由将各矢量投影到投影轴上,得所以7、3牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理故OA杆得角加速度7、3牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理 例9 铰接四边形机构中,杆 以匀角速度 绕 轴转动。AB杆上有一滑套C,滑套C与CD杆铰接,机构各部件在同一铅直面内。求当 时,CD杆得速度与加速度。解:以滑套C为动点,定系取在地面上,动系取AB上,动点得速度合成矢量图如图。由于所以7、3牵连运动为平动时点得加速度合成定理牵连运动为平动时点得加速度合成定理 动点得加速度合成矢量图如图所示。由于所以7、3牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理思考题思考题 半径为r得圆盘绕中心O以匀角速度 逆时针转动。圆盘边缘有一动点M,以相对速度 沿边缘作匀速圆周运动,如图。求动点M得加速度。以M为动点,定系取在地面上,动系取在圆盘上显然方向如图。而方向如图。可见7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理例例 5 设有一坐标系设有一坐标系 绕定绕定轴轴 转动转动、若转动角速度矢量为若转动角速度矢量为 ,试证明泊松公式试证明泊松公式:其中其中 、为动坐标系为动坐标系 坐标轴得单位矢量。坐标轴得单位矢量。证明证明：过定轴过定轴 上点上点 作点作点 与矢量与矢量 终点终点 的矢的矢径径 和和则则7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理将上式对时间求导得将上式对时间求导得同理同理7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 动点得牵连速度、牵连加速动点得牵连速度、牵连加速度分别为度分别为:设有一动坐标系设有一动坐标系 绕定绕定轴轴 转动转动,其转动角速度矢量为其转动角速度矢量为 、角加速度、角加速度 动点得相对速度、相对加速动点得相对速度、相对加速度分别为度分别为:动点得绝对速度为动点得绝对速度为:7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 动点得绝对加速度为动点得绝对加速度为:科氏加速度科氏加速度:7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵连运动为平动时加速度合成的结果不同。由于动坐连运动为平动时加速度合成的结果不同。由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度，简生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度，用称科氏加速度，用 表示。于是动点的加速度为表示。于是动点的加速度为即即:当牵连运动为转动时当牵连运动为转动时,动点得绝对加速度等于其动点得绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度得矢量与。牵连加速度、相对加速度与科氏加速度得矢量与。这就就是牵连运动为转动时得加速度合成定理。这就就是牵连运动为转动时得加速度合成定理。其中其中其大小为其大小为方向由右手法则确定。方向由右手法则确定。7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 例10 直角折杆OBC绕O轴转动,带动套在其上得小环M沿固定直杆OA滑动,如图。已知:OB=10cm,折杆得角速度 。求当 时,小环M得速度与加速度。解:以小环M为动点,定系取在地面上,动系取在折杆上。动点得速度合成矢量图如图。建立如图得投影坐标轴,由 将各矢量投影到投影轴上,得因为7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理解之得 动点得加速度合成矢量图如图。其中 建立如图得投影坐标轴,由 将各矢量投影到投影轴上,得所以故小环M得速度加速度为7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 例11 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转动,使顶杆AB沿铅直槽运动,轴O在滑槽得轴线上,偏心距OC=e,凸轮半径 ,试求 得图示位置时,顶杆AB得速度与加速度。由几何关系可得 解一:以杆端A为动点,定系取在地面上,动系取在轮上。动点得速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得因为于就是可解得7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 动点得加速度合成矢量图如图。其中 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得故顶杆AB得加速度为可见，的实际方向铅直向下。7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 解二:以杆端A为动点,静系取在地面上,动系取过凸轮中心得平动坐标系(如图)。动点得速度合成矢量图如图。动点得加速度合成矢量图如图。7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 解三:以凸轮中心C为动点,静系取在地面上,动系取在顶杆上(如图)。动点得速度合成矢量图与加速度合成矢量图如图。7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 例12 图示机构,半径为R得曲柄OA以匀角速度 绕O轴转动,通过铰链A带动连杆AB运动。由于连杆AB穿过套筒CD,从而使套筒CD绕E轴转动。在图示瞬时,OE OA ,。求此时套筒CD得角加速度。解:以铰A为动点,定系取在地面上,动系取CD上。动点得速度合成矢量图如图。由图可得于就是套筒CD得角速度为7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理动点得加速度合成矢量图如图。其中 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得解得套筒CD得角加速度为转向为逆时针方向。7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理 例13 圆盘得半径 ,以匀角速度 ,绕O轴转动,并带动杆AB绕A轴转动,如图。求机构运动到A、C两点位于同一铅垂线上,且 时,AB杆转动得角速度与角加速度。解:取圆盘中心C为动点,定系取在地面上,动系取在AB杆上。动点得速度合成矢量图如图所示。由图可得所以杆AB得角速度为7、4牵连运动为转动时点得加速度合成定理牵连运动为转动时点得加速度合成定理动点得加速度合成矢量图如图所示。其中建立如图得投影轴,由将各矢量投影到投影轴上得所以故转向为逆时针方向。7、4