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红牌罐头食品制造商番茄整装方案小组成员：付剑峰 杨温声 曾飞 黄文分析问题 管理部门的目标：在资源一定的情况下，实现生产利润的最大化。管理部门需要知道什么？因为利润=收入-成本，而总利润等于各种番茄产品的利润之和。所以管理部门需要知道不同番茄产品的收入（售价*销售数量）、成本（材料成本和其他成本）。约束条件有哪些？数量限制：A级番茄600000磅，B级番茄2400000磅需求限制：整番茄需求上限为14400000磅 番茄汁需求上限为1000000磅 番茄酱需求上限为2000000磅质量限制：整番茄质量最低为8点 番茄汁质量最低为6点 番茄酱质量最低为5点建立模型设生产整番茄、番茄汁和番茄酱中所用A级番茄为X1，X2，X3磅，B级番茄为X4,X5,X6磅，建立利润最大化的目标方程。利润=收入-成本，而收入=售价*数量，成本=材料成本+其他成本。由于在库伯的方案出现了预留直接制造成本，而迈尔的方案中的其他成本却中没有包含预留直接制造成本。所以我们无法知道预留直接制造成本是否会随着不同的番茄整装方案而发生变化。如果对库伯方案计算预留直接制造成本而对迈尔方案不计算，则对库伯是不公平的。所有在此，我们忽略了预留直接制造成本。即在库伯的方案中，我们会以贡献作为其方案的利润。通过尽可能的保证不同方案的其他成本一致来提高各个方案之间的可比性。根据库伯产品盈利表可以得知其他成本如下表 产品整番茄 番茄汁番茄酱劳动力1.181.320.54可变直接制造成本 0.240.360.26价格变化0.400.850.38包装材料0.700.650.77其他成本总计2.523.181.95关于材料成本的计算，本方案认为由于番茄已经购进，无论是否全部使用，已经产生3000000*0.06=180000美元的总成本。在总成本已经确定的情况下，无需区分出A级，B级番茄的各自的成本。所以目标方程为：利润=收入-其他成本-材料成本 即：MaxZ=(4-2.52)*(X1+X4)/18+(4.5-3.18)*(X2+X5)/20+(3.8-1.95)*(X3+X6)/25-180000 化简得：MaxZ=0.082222*X1+0.082222*X4+0.066*X2+0.066*X5+0.074*X3+0.074*X6-180000;根据之前的三个限制可以得出模型的约束条件(1)由数量限制可得：X1+X2+X3=600000 X4+X5+X6=2400000(2)由需求限制可得：X1+X4=14400000 X2+X5=1000000 X3+X6=8(X1+X4)9X2+5X5=6(X2+X5)X3、X6无限制 即：X1-3X4=0 3X2-X5=0 X3、X6无约束软件计算综上所述，输入以下线性方程，利用Lingo软件计算结果。Max=0.082222*X1+0.082222*X4+0.066*X2+0.066*X5+0.074*X3+0.074*X6-180000;X1+X2+X3=600000;X4+X5+X6=2400000;X1+X4=14400000;X2+X5=1000000;X3+X6=0;3*X2-X5=0;END部分计算结果：Global optimal solution found.Objective value:45355.40 Total solver iterations:5 Variable Value Reduced Cost X1 525000.0 0.000000 X4 175000.0 0.000000 X2 75000.00 0.000000 X5 225000.0 0.000000 X3 0.000000 0.3244400E-01 X6 2000000.0.000000 即整装方案如下表所示：生产数量（箱）所用A级番茄（磅）所用B级番茄（磅）总利润（美元）整番茄3888952500017500045355番茄汁1500075000225000番茄酱8000002000000剩余番茄数量（磅）00计算分析现若有可供应的A级番茄，红牌罐头食品制造商愿意以每磅多少钱收购呢？逐利是商人的天性，当收购来的A级番茄生产的产品能产生利润时便可购买。在整装番茄完成后，红牌罐头食品制造厂已没有B级番茄可供调配。所以新收购 A级番茄只能独立生产整番茄或番茄汁（番茄酱已经达到市场需求上限）设愿意收购价为每磅X美元。整番茄：4-2.52-18X=0 得：X=0 得：X=0.066 即在保证不亏损的情况下，A级番茄的收购价上限为每磅0.0822美元。红牌罐头食品制造商是否应以0.085美元的价格购买戈登提到的那80000磅的A级番茄？因为那时还未整装番茄，还有B级番茄可供调配。购买与否取决于购买后重新整装的利润是否高于本方案的利润。假设购买，则购买新增成本为0.085*80000=6800美元，第一个约束条件变为X1+X2+X3=680000，其余约束条件不变。新的线性规划方程为：MaxZ=0.082222*X1+0.082222*X4+0.066*X2+0.066*X5+0.074*X3+0.074*X6-180000-6800 S.T.X1+X2+X3=680000;X4+X5+X6=2400000;X1+X4=14400000;X2+X5=1000000;X3+X6=0;3*X2-X5=0;Lingo部分计算结果：Global optimal solution found.Objective value:45782.04 Total solver iterations:5 Variable Value Reduced Cost X1 615000.0 0.000000 X4 205000.0 0.000000 X2 65000.00 0.000000 X5 195000.0 0.000000 X3 0.000000 0.3244400E-01 X6 2000000.0.000000因为4578245355,所以红牌罐头食品制造商应该接受那80000磅A级番茄。连锁超市的采购者要以36美元箱的价格买下所有的整番茄产品，条件是允许红牌罐头食品制造商以最低极限质量点(7点)的水平进行生产，是否接受？如果接受连锁超市的采购获得的利润能比本方案的利润高便接受，否则不接受。根据条件易知，整番茄售价降为3.6美元，第六个约束条件变为X1-X4=0，其余约束条件不变。新的线性规划方程为：MaxZ=0.06*X1+0.06*X4+0.066*X2+0.066*X5+0.074*X3+0.074*X6-180000;S.T.X1+X2+X3=600000;X4+X5+X6=2400000;X1+X4=14400000;X2+X5=1000000;X3+X6=0;3*X2-X5=0;Lingo部分计算结果：Global optimal solution found.Objective value:34000.00 Total solver iterations:6 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0.6000000E-02 X4 0.000000 0.6000000E-02 X2 250000.0 0.000000 X5 750000.0 0.000000 X3 350000.0 0.000000 X6 1650000.0.000000因为34000=600000，新的目标方程为：MaxZ=0.082222*X1+0.082222*X4+0.066*X2+0.066*X5+0.074*X3+0.074*X6-180000-0.085*（X1+X2+X3-600000）化简得：MaxZ=0.082222*X1+0.082222*X4+0.066*X2+0.066*X5+0.074*X3+0.074*X6-180000-0.085*X1-0.085*X2-0.085*X3+51000MaxZ=0.082222*X1+0.082222*X4+0.066*X2+0.066*X5+0.074*X3+0.074*X6-180000-0.085*X1-0.085*X2-0.085*X3+510000;S.T.X1+X2+X3=600000;X4+X5+X6=2400000;X1+X4=14400000;X2+X5=1000000;X3+X6=0;3*X2-X5=0;Lingo的部分计算结果：Global optimal solution found.Objective value:48555.20 Total solver iterations:6 Variable Value Reduced Cost X1 1200000.0.000000 X4 400000.0 0.000000 X2 0.000000 0.1900000E-01 X5 0.000000 0.7888000E-02 X3 0.000000 0.1111200E-01 X6 2000000.0.000000由结果可知X1+X2+X3=1200000(磅),即应购进600000磅A级番茄，并全部用于整番茄的生产。即整装方案如下表所示：生产数量（箱）所用A级番茄（磅）所用B级番茄（磅）总利润（美元）整番茄88889120000040000048555番茄汁000番茄酱8000002000000剩余番茄数量（磅）00方案对比使用库伯的收益图与迈尔的利润图计算的解与你得到的解有何不同?为什么会有不同？库伯先生根据产品赢利表，计算得出整番茄的增加利润（即贡献）是番茄产品中最高的。所以他将尽可能的生产整番茄，即将600000磅A级番茄和200000磅B级番茄用来生产44444箱整番茄。因为整番茄没有达到市场需求上限，所以可以去生产。而番茄酱的增加利润大于番茄汁，所以剩余2200000磅B级番茄优先生产番茄酱，共生产80000箱。但最后会剩余200000磅B级番茄无法继续生产。总利润为44444*0.4+80000*0.35-200000*0.06=33777.6美元迈尔方案存在重大错误,迈尔所说的利润48000美元事实上无法实现。完全依照迈尔的利润分析表，在迈尔的方案中，卖出80000箱番茄酱和26667箱番茄汁后，剩余466667磅A级番茄时，利润为80000*0.55+26667*0.08=46133美元，迈尔将466667磅A级番茄全部做成番茄汁，即23333箱番茄汁，利润为23333*0.08=1867美元，总利润为46133+1867=48000美元。虽然并未超出番茄汁的需求上限50000箱。但迈尔忽略了当他使用剩余的466667磅A级番茄制作番茄汁，会使番茄成本从1.24美元/箱变成1.864美元/箱，即番茄汁的利润降为-0.544美元/箱。此时利润为23333*（-0.544）=-12693美元。所以迈尔方案的真正利润为46133-12693=33440美元。本方案基于2400000磅B级番茄和600000磅A级番茄已经购买，番茄材料总成本180000美元的前提下，剩余番茄如果不能生产成产品去销售，就相当于使用成本却得不到收益。甚至库存剩余番茄会消耗更多的成本。所以本方案在总成本已固定的情况下，尽可能的完成全部番茄产品的销售。具体生产情况如前文所述，最终将销售完全部番茄。总利润为45355美元。本方案之所以与库伯方案不同，在于本方案认为如果有剩余番茄没有完成销售，剩余番茄的购买也存在成本。在番茄已经购买的情况下，销售番茄产生的利润应减去购买未销售番茄所用的成本，才是真正的利润。与迈尔方案不同在于，迈尔方案未考虑到完全用A级番茄生产番茄汁会使番茄汁成本发生变动。通过下表7可以更直接清楚的实现各个方案的对比。产品组合及数量（箱）所用A级番茄/磅所用B级番茄/磅剩余番茄总利润/美元库伯方案整番茄44444600000200000200000磅B级番茄33778番茄汁000番茄酱8000002000000迈尔方案整番茄000无剩余33440番茄汁50000600000400000番茄酱8000002000000本方案整番茄38889525000175000无剩余45355番茄汁1500075000225000番茄酱8000002000000结论至此，本方案叙述完毕。通过三种不同方案的对比，在计算剩余番茄成本的情况下，本方案能使红牌罐头食品制造商获得最大的利润。因为番茄容易变质损坏，故本文认为，红牌罐头食品制造商在剩余番茄无法得到快速，高效和较高利润处理的情况下，应采用本方案完全销售这批已经购进的番茄，才能使公司实现管理目标在资源一定的情况下实现利润最大化。