泊松过程及维纳过程.ppt

一、独立增量过程一、独立增量过程二、泊松过程的数学模型二、泊松过程的数学模型三、维纳过程的数学模型三、维纳过程的数学模型泊松过程及维纳过程泊松过程及维纳过程特征特征:在互不重叠的区间上在互不重叠的区间上,状态的增量是相互状态的增量是相互独立的独立的.一、独立增量过程一、独立增量过程当增量具有平稳性时当增量具有平稳性时,称相应的独立增量过程称相应的独立增量过程是是齐次的齐次的或或时齐的时齐的.则称则称增量具有平稳性增量具有平稳性.独立增量过程的协方差函数独立增量过程的协方差函数 CX(s,t).1.问题的提出问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2)意外事故或意外差错的发生意外事故或意外差错的发生;(3)要求服务的顾客到达服务站要求服务的顾客到达服务站.二、泊松过程的数学模型二、泊松过程的数学模型2.问题的分析与求解问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现点出现.因此研究的对象可以认为是因此研究的对象可以认为是随时间推移随时间推移,陆陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流质点流.计数过程的一个典型样本函数计数过程的一个典型样本函数(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性在不相重叠的区间上的增量具有独立性.增量的分布律增量的分布律概率的计算概率的计算利用初值条件求解微分方程可得利用初值条件求解微分方程可得将此式进行整理后可得将此式进行整理后可得如此重复如此重复,一般地可得到一般地可得到结论结论泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征均值函数均值函数方差函数方差函数泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.协方差函数协方差函数相关函数相关函数对非齐次泊松过程对非齐次泊松过程,用类似的方法可以求出增用类似的方法可以求出增量的概率分布和非齐次泊松过程的一些数字特征量的概率分布和非齐次泊松过程的一些数字特征.3.与泊松过程有关的随机变量与泊松过程有关的随机变量(1)等待时间等待时间设质点设质点(或事件或事件)依次重复出现的时刻依次重复出现的时刻(2)点间间距点间间距求导可得条件概率密度函数为求导可得条件概率密度函数为结论结论定理一定理一定理二定理二定理的意义定理的意义定理刻画出了泊松过程的特征定理刻画出了泊松过程的特征.要确定一个计要确定一个计数过程是否是泊松过程数过程是否是泊松过程,只需要用统计方法检验点只需要用统计方法检验点间间距是否独立间间距是否独立,并且服从同一个指数分布并且服从同一个指数分布.1.布朗运动简介布朗运动简介英国植物学家布朗英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下在显微镜下,观察观察漂浮在平静的液面上的微小粒子漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地发现它们不断地进行着杂乱无章的运动进行着杂乱无章的运动,这种现象称为布朗运动这种现象称为布朗运动.爱因斯坦爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论年提出一种理论,认为微粒的这种运动是由于受到认为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果.三、维纳过程的数学模型三、维纳过程的数学模型布朗运动计算机模拟结果布朗运动计算机模拟结果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=50000由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞而引起的碰撞而引起的,因此因此,在不相重叠的时间间隔内在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的假定是相互独立的.液面处于平衡状态液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移这时粒子在一时段上位移的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度,而与而与观察的起始时刻无关观察的起始时刻无关.2.维纳过程的数学模型维纳过程的数学模型则称此过程为则称此过程为 维纳过程维纳过程.3.维纳过程的特征维纳过程的特征维纳过程增量的分布只与时间差有关维纳过程增量的分布只与时间差有关,所以维纳过程是齐次的独立增量过所以维纳过程是齐次的独立增量过程程,也是正态过程也是正态过程.其分布完全由均值函数和自协方差函数其分布完全由均值函数和自协方差函数 (或者自相关函数或者自相关函数)所确定所确定.