线性规划常见题型大全.doc

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2014-2015学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、选择题（题型注释）
1．已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为( )
A、10 B、8 C、2 D、0
【答案】B
【解析】
试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z＝4x＋y取得最大值为8
x
A
y
2
2
0

考点：线性规划.
2．若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【答案】D
【解析】根据画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，
自直线经过原点起，向上平移，当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.

图1 图2 图3
考点：平面区域与简单线性规划.
3．已知变量x,y满足约束条件 则的取值范围是( )
A． B． C． D．(3,6]
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k＝的范围是.
考点：线性规划，斜率.
4．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（ ）
A.3 B.4 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
试题分析：首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．
解：首先做出可行域，如图所示：
z=•=，即y=﹣x+z
做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．
因为B（，2），所以z的最大值为4
故选B

点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．
5．已知不等式组 表示的平面区域的面积等于，则的值为（ ）
﹙A﹚ （B）
﹙C﹚ （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积，解得，故选D.

考点：1.线性规划求参数的取值.
6．设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（    ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
∵=1+
而表示点(x，y)与点(－1，－1)连线的斜率．
由图知a>0，否则无可行域，且点(－1，－1)与点(3a，0)的连线斜率最小，

即==a=1
7．已知实数，满足条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：如下图

可行区域为上图中的靠近x轴一侧的半圆，目标函数，所表示在可行区域取一点到点（2,0）连线的斜率的最小值，可知过点（2,0）作半圆的切线，切线的斜率的最小值，设切线方程为y=k（x-2），则A到切线的距离为1，故.
考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.
8．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：设这两个数为：，则.若两数中较大的数大于，则还应满足：或（只需排除），作出以上不等式组表示的区域，由几何概型的概率公式得.选C.
考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域.

第II卷（非选择题）
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评卷人
得分

二、填空题（题型注释）
9．若实数，满足线性约束条件，则的最大值为________．
【答案】.
【解析】
试题分析：作出不等式组表示的平面区域，即可行域，则可知直线与直线的交点，作直线：，平移直线，可知当，时，.
考点：线性规划.
10．已知变量满足约束条件 若目标函数的最大值
为1，则 .
【答案】3
【解析】

试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4,1）点是取得最大值，所以，所以.

考点：线性规划.
11．设z=kx+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k=　　　　．
【答案】2
【解析】
作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)

过原点作出直线kx+y=0
k=0时，y=0，目标函数z=y在点A处取得最大值4，与题意不符
②即时，直线kx+y=0即y=－kx经过一、三象限，平移直线y=－kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即，此时k=2与不符;
③－k>即k<－时，直线kx+y=0即y=－kx经过一、三象限，平移直线y=－kx可知，目标函数z=kx+y在点B处取得最大值，即，此式不成立
④－k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=－kx经过二、四象限，平移直线y=－kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即，此时k=2与k>0相符，所以k=2
12．点是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式总成立，则的取值范围是________________.
【答案】
【解析】
试题分析：将不等式化为，只需求出的最大值即可，令，就是满足不等式的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在处取最大值3，则m取值范围是.
考点：简单的线性规划和转化思想.
13．设变量x，y满足的最大值为.
【答案】8
【解析】
试题分析：
这是如图可行域，

目标函数,表示可行域内的点到直线的距离的2倍，很显然点A到直线的距离最大，点,将其代入点到直线的距离公式得到
考点：1.线性规划；2.点到直线的距离公式.
14．已知实数x，y满足若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为__________．
【答案】[－1，1]
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，

则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
15．设实数满足 向量，．若，则实数的最大值为 ．
【答案】；
【解析】
试题分析：因为，所以,故根据线性规划的知识画出可行域如图,则目标函数在点（1，8）处取得最大值6.
考点：向量平行 线性规划

16．已知点，为坐标原点，点满足,则的最大值是
【答案】
【解析】
试题分析：作出可行域如图，则,

又是的夹角, ∴目标函数表示在上的投影，
过作的垂线，垂足为，
当在可行域内移动到直线和直线的交点时，
在上的投影最大，此时，
∴的最大值为,故答案为．
考点：简单线性规划的应用，平面向量的数量积，平面向量的投影.
17．若实数、满足,则的最大值是_________.
【答案】4
【解析】
试题分析：将变形为，表示圆心为，半径为的圆。令，即。由图像分析可知圆心到直线距离，解得，所以的最大值是4。
考点：1线性规划、数形结合思想；2点到线的距离；
18．已知为坐标原点，，，，满足，则的最大值等于 .
【答案】
【解析】
试题分析：，设,如图：做出可行域

当目标函数平移到C点取得最大值，解得,,代入目标函数，的最大值为.
考点：1.向量的数量积的坐标表示；2.线性规划.
19．已知实数x，y满足
则r的最小值为________．
【答案】
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中的三角形，

三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y＝x的距离，所以r的最小值为.
20．已知P(x，y)满足则点Q(x＋y，y)构成的图形的面积为_____．

【答案】2
【解析】令x＋y＝u，y＝v，则点Q(u，v)满足，在uOv平面内画出点Q(u，v)所构成的平面区域如图，易得其面积为2.
21．已知实数，满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.
考点：线性规划求最值
22．曲线y＝在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为 ．
【答案】4
【解析】
试题分析：， ， ，
所以曲线在点处的切线方程为：，即： ，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示：

令，将其变形为 ，当变化时，它表示一组斜率为，在轴上的截距为的平行直线，并且该截距越在，就越大，由图可知，当直线经过时，截距最大，
所以＝，故答案为：4.
考点：1、导数的几何意义；2、求导公式；3、线必规划.
23．已知实数x，y满足，则的最小值是 .
【答案】2
【解析】
试题分析：线性不等式组表示的可行域如图：

，，。
表示点与可行域内的点间的距离的平方。，点到直线的距离为，因为，所以。
考点：线性规划。
24．已知实数，满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.
考点：线性规划求最值
25．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值是 .
【答案】2
【解析】
试题分析：等价于，即直线的下方和直线的上方，而与直线围成三角形区域，当时，不等式组表示的平面区域的面积为.
考点：不等式中的线性规划问题.
26．已知实数满足则的最大值为_________.

【答案】16
【解析】
试题分析：如图实数满足满足的可行域是三角形OAB的阴影部分. 由可化为.所以求z的最大值即求出的最小值.目标函数，如图所示.过点B即为m所求的最小值.因为B（-2,0）所以m=-4.所以.故填16.
考点：1.线性规划问题.2.指数函数的运算.

评卷人
得分

三、解答题（题型注释）
27．已知x，y满足约束条件，试求解下列问题．
(1)z＝的最大值和最小值；
(2)z＝的最大值和最小值；
(3)z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值．
【答案】（1）zmax＝，zmin＝.（2）zmax＝1，zmin＝（3）zmax＝14，zmin＝5.
【解析】(1)z＝表示的几何意义是区域中的点(x，y)到原点(0，0)的距离，则zmax＝，zmin＝.
(2)z＝表示区域中的点(x，y)与点(－2，0)连线的斜率，则zmax＝1，zmin＝.
(3)z＝|3x＋4y＋3|＝5·，而表示区域中的点(x，y)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，则zmax＝14，zmin＝5
28．设x,y满足约束条件,
（1）画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积；
（2）若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4,求的最小值.
【答案】（1）10；（2）4
【解析】
试题分析：（1）如图

先在直角坐标系中画出各直线方程，再用特殊点代入法判断各不等式表示的平面区域，其公共部分即为不等式组表示的平面区域，用分割法即可求出其面积。（2）画出目标函数线，平移使其经过可行域当目标函数线的纵截距最大时，取得最大值，求出满足条件的此点坐标代入目标函数。用基本不等式求的最小值。
试题解析：解：（1）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分. 3分
联立得点C坐标为(4,6)
平面区域的面积. 6分
（2）当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点C(4,6)时,
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值4,即4a+6b=4,
即. 9分
所以
等号成立当且仅当时取到.
故的最小值为4. 12分
考点：1线性规划；2基本不等式。