13.5.2--线段的垂直平分线.ppt

第第13章章 全等三角形全等三角形13.5逆命题与逆定理逆命题与逆定理第第2课时课时 线段线段的垂直的垂直 平分线平分线1课堂讲解u线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质u线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质我我们们已已经经知道知道线线段是段是轴对轴对称称图图形形，线线段段的垂直平分的垂直平分线线是是线线段的段的对对称称轴轴.如如图图13.5.1，直直线线MN是是线线段段AB的垂直平的垂直平分分线线，P是是MN上任上任一点，一点，连结连结PA、PB.将将线线段段AB沿沿直直线线MN对对折折，我，我们们发现发现PA与与PB完全完全重合重合.由此即由此即有：有：知知1 1导导（来源于教材）（来源于教材）知知1 1讲讲1.线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质定理：定理：线线段垂段垂直平分直平分线线上的点到上的点到线线段两端的距离相等段两端的距离相等；条件：条件：点在点在线线段的垂直平分段的垂直平分线线上；上；结论结论：这这个点到个点到线线段两端的距离相等段两端的距离相等表达方式：表达方式：如如图图13.52，l AB，AO BO，点，点P在在l上，上，则则APBP.2作用：可用来作用：可用来证证明两明两线线段相等段相等（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.52知知1 1讲讲线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质定理定理线线段垂段垂直平分直平分线线上上的点到的点到线线段两端的距离相等段两端的距离相等.已知：如已知：如图图13.5.1，MN丄丄AB，垂，垂足足为为点点C，AC=BC，点点P是直是直线线MN上的上的任意一点任意一点.求求证证：PA=PB.分析：分析：图图中有两个直角三角形中有两个直角三角形APC和和BPC，只要只要证证明明这这两个三角形全等，两个三角形全等，便可便可证证得得PA=PB.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）请写出完请写出完整的证明整的证明过程过程.知知1 1讲讲例例1如如图图13.53，在，在ABC中，中，AC5，AB的垂直的垂直平分平分线线DE分分别别交交AB，AC于点于点E，D，(1)若若BCD的周的周长为长为8，求，求BC的的长长；(2)若若BC4，求，求BCD的周的周长长（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.53知知1 1讲讲导导引：引：由由DE是是AB的垂直平分的垂直平分线线，得，得ADBD，所以所以 BD与与CD的的长长度和等于度和等于AC的的长长，所以由，所以由BCD的的周周长长可求可求BC的的长长，同，同样样由由BC的的长长也可也可求求BCD的周的周长长（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知1 1讲讲解解：DE是是AB的垂直平分的垂直平分线线，ADBD，BDCDADCDAC5.(1)BCD的周的周长为长为8，BCBCD的周的周长长(BDCD)853.(2)BC4，BCD的周的周长长BCBDCD549.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知1 1讲讲总 结本本题题运用了运用了转转化思想化思想，用，用线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质把把BD的的长转长转化成化成AD的的长长，从而把未知的，从而把未知的BD与与CD的的长长度和度和转转化成已知的化成已知的线线段段AC的的长长本本题题中中AC的的长长、BC的的长长及及BCD的周的周长长三者可互相三者可互相转转化，知其二可化，知其二可求第三者求第三者.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知1 1讲讲例例2如如图图13.54，在，在ABC中，中，A40，B90，线线段段AC的垂直平分的垂直平分线线MN与与AB交于交于点点D，与，与AC交于点交于点E，则则BCD的度数是的度数是_（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.5410知知1 1讲讲导导引引：在在ABC中，中，B90，A40，ACB50.MN是是线线段段AC的垂直平分的垂直平分线线，DCDA，AECE.又又DEDE，ADECDE，DCEA40.BCDACBDCA504010.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）知知1 1讲讲总 结利用利用线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质得出得出边边相等，从而相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中得出三角形全等，再利用全等三角形中对应对应角相等角相等确定确定DCA的度数，根据角度差解决的度数，根据角度差解决问题问题（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）1(中考中考义乌义乌)如如图图，直，直线线CD是是线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线，P为为直直线线CD上的一点，已知上的一点，已知线线段段PA5，则线则线段段PB的的长长度度为为()A6B5C4D3知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2如如图图，已知，已知线线段段AB，BC的垂直平分的垂直平分线线l1，l2交于点交于点M，则线则线段段AM，CM的大小关系是的大小关系是()AAMCMBAMCMCAMCM D无法无法确定确定知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3(中考中考荆荆州州)如如图图，在，在ABC中，中，ABAC，AB的的垂直平分垂直平分线线交交边边AB于于D点，交点，交边边AC于于E点，若点，若ABC与与EBC的周的周长长分分别别是是40cm，24cm，则则AB_知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点线段线段垂直平分线的判定垂直平分线的判定知知2 2导导这这一定理描述了一定理描述了线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质，那么反，那么反过过来会来会有有什么什么结结果呢果呢？探探索索条件条件结论结论性质定理性质定理逆命题逆命题写出该定写出该定 理与它的理与它的逆命逆命 题的条件和结题的条件和结 论，想想看，其论，想想看，其 逆逆命题是否是命题是否是 一一个真个真命题？命题？你一定发现到你一定发现到线段两端距离相等的点的确在该线线段两端距离相等的点的确在该线 段的垂直段的垂直平分线上平分线上.我们可以通过我们可以通过“证明证明”说明这一结论正确说明这一结论正确.知知2 2讲讲线线段段垂直平分垂直平分线线的判定定理：的判定定理：到到线线段两端距离相等的段两端距离相等的点点在在线线段的垂直平分段的垂直平分线线上上(1)条件：条件：点到点到线线段两端距离相等段两端距离相等；结论结论：点点在在线线段垂直平分段垂直平分线线上上(2)表达方式：表达方式：如如图图13.55，PAPB，点点P在在线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线上上(3)作用：作用：作作线线段的垂直平分段的垂直平分线线的依据；的依据；可用来可用来证线证线段垂直、相等段垂直、相等拓展：拓展：三角形三三角形三边边的垂直平分的垂直平分线线交于一点，交于一点，这这点到三点到三角角形形的三个的三个顶顶点的距离相等，点的距离相等，这这个点叫个点叫这这个三角形的外心个三角形的外心（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.55知知2 2讲讲已知已知：如：如图图13.5.2,QA=QB.求求证证：点点Q在在线线段段AB的的垂直垂直平分平分线线上上.分析：分析：为为了了证证明明点点Q在在线线段段AB的垂的垂直直平分平分线线上，上，可以先可以先经过经过点点Q作作线线段段AB的的垂垂线线，然后，然后证证明明该该垂垂线线平平分分线线段段AB;也也可可以以先平分先平分线线段段AB，设设线线段段AB的的中点中点为为点点C，然后然后证证明明QC垂直垂直于于线线段段AB.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）知知2 2讲讲证证明：明：过过点点Q作作MN丄丄AB，垂足垂足为为点点C，故故QCA=QCB=90.在在RtQCA和和RtQCB中中，QA=QB,QC=QC,RtQCA RtQCB(H.L).AC=BC(全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等）相等）.点点Q在在线线段段AB的的垂直平分垂直平分线线上上.你能根据分析中后你能根据分析中后一种添加一种添加辅辅助助线线的的方法，写出它的方法，写出它的证证明明过过程程吗吗？（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）知知2 2讲讲于是于是就有定理：就有定理：到到线线段两端距离相等的点在段两端距离相等的点在线线段的垂直平分段的垂直平分线线上上.上述两条定理互上述两条定理互为为逆定理，根据上述两条定理逆定理，根据上述两条定理，我我们们就就能能证证明：三角形三明：三角形三边边的垂直平分的垂直平分线线交于交于一点一点.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）知知2 2讲讲例例2如如图图13.56，在，在ABC中，中，ACB90，AD平分平分BAC，DEAB于于E.求求证证：直：直线线AD是是CE的垂直平的垂直平分分线线证证明明：AD平分平分BAC，DAEDAC.ACB90，DEAB，AED90，易易证证ADEADC，CDDE，点点D在在CE的垂直平分的垂直平分线线上；上；ACAE，点点A也在也在CE的垂直平分的垂直平分线线上，上，直直线线AD是是CE的垂直平分的垂直平分线线图图13.56（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）总 结知知2 2讲讲利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上即证有两点在线段的垂直平分线上)易错之处：只证易错之处：只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线因为过该点的直线有无穷多条，其线段的垂直平分线因为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平分线注意：证线段的垂直中只有一条是线段的垂直平分线注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义平分线也可以利用定义（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲从从图图13.5.3中可以看出，要中可以看出，要证证明三明三角角形形三条三条边边的垂的垂直平分直平分线线交于一点，只需交于一点，只需证证明明其中两条其中两条边边的垂直平分的垂直平分线线的交点一定的交点一定在在第三第三条条边边的垂直平分的垂直平分线线上就可以了上就可以了.其思其思路路可可表示如下表示如下：试试试试看看，现现在你会在你会证证明了明了吗吗？（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）试试一一试试知知2 2讲讲例例3如如图图13.57，已知，已知ABAD，BCDC，E是是AC上上一一点点，求，求证证：(1)BEDE；(2)ABEADE.导导引：引：(1)连结连结BD，要，要证证BEDE，只要，只要证证明明E点点是是线线段段BD的垂直平分的垂直平分线线上的点即可上的点即可由由 ABAD，说说明明A点是点是线线段段BD的垂直的垂直平分平分线线上的点，由上的点，由BCDC，说说明明C点也是点也是线线段段BD的垂直平分的垂直平分线线上的点，所以上的点，所以AC是是线线段段BD的垂直平分的垂直平分线线，而已知，而已知E是是AC上上一一点，点，问题问题得以解决得以解决(2)要要证证明角相等，只需明角相等，只需证证明明ABEADE即可即可（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.57知知2 2讲讲证证明明：(1)连结连结BD，如，如图图13.57，ABAD，BCCD，A，C两点均在两点均在线线段段BD的垂直平分的垂直平分线线上上AC是是线线段段BD的垂直平分的垂直平分线线又又E是是AC上一点上一点，BEDE.(2)在在ABE和和ADE中中，ABAD，BEDE，AEAE，ABEADE，ABEADE.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）总 结知知2 2讲讲由由线线段垂直平分段垂直平分线线的判定定理确定的判定定理确定AC是是线线段段BD的的垂直平分垂直平分线线，再由，再由线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质得得BEDE，这这是是线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质和判定定理的和判定定理的综综合运用合运用（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例4如如图图13.58，某城市，某城市规规划局划局为为了方便居民的生了方便居民的生活，活，计计划在三个住宅小区划在三个住宅小区A，B，C之之间间修建一修建一个个购购物中心，物中心，试问试问：该购该购物中心物中心应应建于何建于何处处，才能使得它到三个小区的距离相等？才能使得它到三个小区的距离相等？（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.58知知2 2讲讲导导引：引：本本题转题转化化为为数学数学问题问题就是要找一个点，使它到就是要找一个点，使它到三角形的三个三角形的三个顶顶点的距离相等首先考点的距离相等首先考虑虑到到A，B两点距离相等的点两点距离相等的点应该应该在在线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线上，到上，到B，C两点距离相等的点两点距离相等的点应该应该在在线线段段BC的垂直平分的垂直平分线线上，两条垂直平分上，两条垂直平分线线的交点即的交点即为为所求的点所求的点（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.59知知2 2讲讲解解：连结连结AB，BC，分，分别别作作AB，BC的垂直平分的垂直平分线线DE，GF，两直，两直线线交于点交于点M，则则点点M就是所要确定的就是所要确定的购购物物中心的位置如中心的位置如图图13.59.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.59总 结知知2 2讲讲解决作解决作图选图选点性点性问题问题：若要找到某两个点的距离：若要找到某两个点的距离相等的点，一般在相等的点，一般在这这两点所两点所连线连线段的垂直平分段的垂直平分线线上去上去找找（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲线线段垂直平分段垂直平分线线的判定有两种方法：的判定有两种方法：(1)定定义义法法；(2)判定定理判定定理我我们们一般一般习惯习惯用定用定义义法法进进行行证证明，但利用明，但利用判定定理判定定理则则更更为简单为简单，用判定定理判定一条直，用判定定理判定一条直线线是是线线段段的垂直平分的垂直平分线时线时，需，需证证直直线线上有两点到上有两点到线线段两端点的距段两端点的距离相等离相等（来自（来自点拨点拨）1锐锐角三角形角三角形ABC内有一点内有一点P，满满足足PAPBPC，则则点点P是是ABC()A三条角平分三条角平分线线的交点的交点B三条中三条中线线的交点的交点C三条高的交点三条高的交点D三三边边垂直平分垂直平分线线的的交点交点知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2如如图图，点，点D在在ABC的的BC边边上，且上，且BCBDAD，则则点点D在在线线段段()的垂直平分的垂直平分线线上上AABBACCBCD不确定不确定知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1 1线段的垂直平分线的性质和判定的线段的垂直平分线的性质和判定的“两点作用两点作用”：(1)(1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，只需直线满足垂直、平分即可；等，只需直线满足垂直、平分即可；(2)(2)利用线段垂利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系2 2应用线段垂直平分线的性质要注意两点：应用线段垂直平分线的性质要注意两点：(1)(1)点一定在垂直平分线上；点一定在垂直平分线上；(2)(2)距离指的是点到距离指的是点到线段两个端点的距离线段两个端点的距离（来自（来自典中点典中点）1.1.必做必做:完成完成教材教材P96P96，T1-3T1-32 2.补充补充:完成典中点完成典中点剩余部分的习题剩余部分的习题.