复变函数和积分变换重要知识点归纳.pdf

.WORD.格式.专业资料.整理分享.复复变变函数复函数复习习重点重点(一)复数的概念1.复数的概念：复数的概念：，是实数,.zxiy,x y Re,Imxzyz21i 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示复数的表示1）模：）模：；22zxy2）幅角）幅角：在时，矢量与 轴正向的夹角，记为（多值函数）；0z x Arg z主值是位于中的幅角。arg z(,3）与之间的关系如下：arg zarctanyx 当；0,x argarctanyzx 当；0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx4）三角表示三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号cossinzziarg z5）指数表示指数表示：，其中。izz earg z(二)复数的运算1.加减法加减法：若，则111222,zxiy zxiy121212zzxxi yy2.乘除法乘除法：1）若，则111222,zxiy zxiy；1 212122112z zx xy yi x yx y 。112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy2）若,则121122,iizz ezz e1；121 212iz zzz e121122izzezz3.乘乘幂幂与方根与方根1）若，则。(cossin)izziz e(cossin)nnninzzninz e2）若，则(cossin)izziz e（有 个相异的值）122cossin(0,1,21)nnkkzziknnnLn（三）复变函数1复复变变函数：函数：，在几何上可以看作把 平面上的一个 wf zz点集 变到 平面上的一个点集 的映射.DwG2复初等函数复初等函数1）指数函数指数函数：，在 平面处处可导，处处解析；且cossinzxeeyiyz。zzee注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）ze2 i3）对对数函数数函数：（多值函数）；ln(arg2)Lnzzizk(0,1,2)k L主值：。（单值函数）lnlnargzziz的每一个主值分支在除去原点及负实轴的 平面内处处Lnzln zz解析，且；1lnzz注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘）乘幂幂与与幂幂函数：函数：；(0)bbLnaaea(0)bbLnzzez注：在除去原点及负实轴的 平面内处处解析，且。z 1bbzbz4）三角函数三角函数：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz在 平面内解析，且sin,coszzzsincos,cossinzzzz 注：有界性不再成sin1,cos1zz立；（与实函数不同）24）双曲函数双曲函数 ；,22zzzzeeeeshzchz奇函数，是偶函数。在 平面内解析，且shzchz,shz chzz。,shzchz chzshz（四）解析函数的概念1复复变变函数的函数的导导数数1）点可点可导导：=；0fz 000limzf zzf zz 2）区域可区域可导导：在区域内点点可导。f z2解析函数的概念解析函数的概念1）点解析：在及其的邻域内可导，称在点解析；f z0z0z f z0z2）区域解析：在区域内每一点解析，称在区域内解析；f z f z3）若在点不解析，称为的奇点；()f z0z0z f z3解析函数的运算法解析函数的运算法则则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1 函数可函数可导导的充要条件的充要条件：在可导,f zu x yiv x yzxiy和在可微，且在 处满足条件：,u x y,v x y,x y,x yCD,uvuvxyyx 此时，有。uvfzixx2函数解析的充要条件函数解析的充要条件：在区域内解析,f zu x yiv x y和在在内可微，且满足条件：,u x y,v x y,x yDCD3；,uvuvxyyx 此时。uvfzixx注意注意：若在区域具有一阶连续偏导数，则,u x yv x yD在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，,u x yv x yD只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数,u vCR一定是可导或解析的。()f zuiv3函数可函数可导导与解析的判与解析的判别别方法方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以形式给出，如第二,f zu x yiv x y章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以 的形式给 f zz出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质1）复复变变函数函数积积分的概念：分的概念：，是光滑曲线。1limnkkcnkf z dzfzc注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2）复复变变函数函数积积分的性分的性质质1）（与 的方向相反）；1ccf z dzf z dz 1cc2）是常数；,cccf zg z dzf z dzg z dz 3）若曲线 由 与 连接而成，则。c1c2c 12cccf z dzf z dzf z dz3复复变变函数函数积积分的一般分的一般计计算法算法41）化为线积分：；（常用于理论证明）cccf z dzudxvdyivdxudy2）参数方法：设曲线：，其中 对应曲线 的起点，c()zz tt c对应曲线 的终点，则 。c ()cf z dzf z tz t dt（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1 柯西柯西古古萨萨基本定理基本定理：设在单连域 内解析，为 内任一闭 f zBcB曲线，则 0cf z dz 2 复合复合闭闭路定理路定理：设在多连域内解析，为内任意一条简 f zDcD单闭曲线，是 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，12,nc ccLc并且以为边界的区域全含于内，则12,nc ccLD 其中 与均取正向；cf z dz 1,knkcf z dz ckc，其中 由 及所组成的复合闭路。0f z dz c1(1,2,)cknL3 闭闭路路变变形原理形原理：一个在区域内的解析函数沿闭曲线D f z的积分，不因 在内作连续变形而改变它的值，只要在变形ccD过程中 不经过使不解析的奇点。c f z4解析函数沿非解析函数沿非闭闭曲曲线线的的积积分分：设在单连域 内解析，为 f zB G z在 内的一个原函数，则 f zB 212112(,)zzf z dzG zG zz zB 说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算 f z时只要求出原函数即可。5。柯西柯西积积分公式分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单 f zDcD闭曲线，的内部完全属于，为 内任意一点，则cD0zc 002cf zdzif zzz 56 高高阶导阶导数公式数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的 阶导 f zn数为 0102(1,2)()!nncf zidzfznzznL其中 为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，c f zD0z而且它的内部完全属于。D7重要重要结论结论：。（是包含 的任意正向简单闭曲线）12,010,0()ncindznza ca8复复变变函数函数积积分的分的计计算方法算方法1）若在区域内处处不解析，用一般积分法 f zD cf z dzf z tz t dt2）设在区域内解析，f zD是内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，cD 0cf z dz 是内的一条非闭曲线，对应曲线 的起点和终点，则有cD12,z zc 2121zczf z dzf z dzF zF z3）设在区域内不解析 f zD 曲曲线线 内内仅仅有一个奇点有一个奇点：（在 内解析）c 0001022()!cnncf zdzi f zzzf zidzfzzzn()f zc 曲线 内有多于一个奇点：（内只有一个奇c cf z dz 1knkcf z dz ic点）kz6 或：（留数基本定理）12Re (),nkkcf z dzis f z z 若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计 1()nof zzz算。（八）解析函数与调和函数的关系1 调调和函数和函数的概念：的概念：若二元实函数在内有二阶连续偏导数(,)x yD且满足，22220 xy为 内的调和函数。(,)x yD2解析函数与解析函数与调调和函数的关系和函数的关系 解析函数的实部 与虚部 都是调和函数，并称虚部 f zuivuv为实部 的共轭调和函数。vu 两个调和函数 与 构成的函数不一定是解析函数；但uv()f zuiv是若如果满足柯西,u v黎曼方程，则一定是解析函数。uiv3已知解析函数已知解析函数的的实实部或虚部，求解析函数部或虚部，求解析函数的方法。的方法。f z f zuiv1）偏微分法偏微分法：若已知实部，利用条件，得；,uu x yCR,vvxy对两边积分，得 （*）vuyx uvdyg xx再对（*）式两边对 求偏导，得（*）x vudygxxxx由条件，得，可求出 ；CRuvyx uudygxyxx g x7代入（*）式，可求得 虚部 。uvdyg xx2）线积线积分法分法：若已知实部，利用条件可得,uu x yCR，vvuudvdxdydxdyxyyx 故虚部为；00,x yxyuuvdxdycyx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中与 是解析区域中的两点。00,xy,x y3）不定不定积积分法分法：若已知实部，根据解析函数的导数公式和,uu x y条件得知，CR uvuufziixyxy将此式右端表示成 的函数，由于仍为解析函数，故z U z fz （为实常数）f zU z dzcc注：若已知虚部 也可用类似方法求出实部v.u（九）复数项级数1复数列的极限复数列的极限1）复数列（）收敛于复数的充要条件为nnnaib1,2n Labi （同时成立）lim,limnnnnaabb2）复数列收敛实数列同时收敛。n,nnab2复数复数项级项级数数1）复数项级数收敛的充要条件是级数与同0()nnnnnaib 0nna0nnb时收敛；2）级数收敛的必要条件是。lim0nn8注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1幂级幂级数的概念数的概念：表达式或为幂级数。00()nnnczz0nnnc z2 幂级幂级数的数的敛敛散性散性1）幂级幂级数的收数的收敛敛定理定理阿阿贝尔贝尔定理定理(Abel)：如果幂级数在0nnnc z处收敛，那么对满足的一切，该级数绝对收敛；如00z 0zzz果在处发散，那么对满足的一切，级数必发散。0z0zzz2）幂级幂级数的收数的收敛敛域域圆圆域域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收收敛敛半径的求法半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法 如果，则收敛半径；1lim0nnncc1R 根值法 ，则收敛半径；lim0nnc1R 如果，则；说明在整个复平面上处处收敛；0R 如果，则；说明仅在或点收敛；0R 0zz0z 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如）20nnnc z3 幂级幂级数数的性的性质质1）代数性代数性质质：设的收敛半径分别为与，记00,nnnnnna zb z1R2R，12min,RR R则当时，有zR9 （线性运算）000()nnnnnnnnnnab za zb z （乘积运算）01 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba b zL2）复合性复合性质质：设当时，当时，解析且r 0nnnfazR g z，g zr则当时，。zR 0nnnf g za g z3）分析运算性分析运算性质质：设幂级数的收敛半径为，则0nnna z0R 其和函数是收敛圆内的解析函数；0nnnf za z 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10nnnfzna zzR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；1001znnnaf z dzznzR（十一）幂幂函数的泰勒展开函数的泰勒展开1.泰勒展开：泰勒展开：设函数在圆域内解析，则在此圆域内 f z0zzR可以展开成幂级数；并且此展开式是唯 f z 000!nnnfzf zzzn一的。注：若在解析，则在的泰勒展开式成立的圆域的收敛 f z0z f z0z半径；0Rza其中 为从到的距最近一个奇点 之间的距离。R0z f z0za2 常用函数在常用函数在的泰勒展开的泰勒展开00z 式式101）23011!2!3!nznnzzzezznn LLz 2）20111nnnzzzzz LL1z 3）3521210(1)(1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznnLLz 4）24220(1)(1)cos1(2)!2!4!(2)!nnnnnzzzzznn LLz 3 解析函数展开成泰勒解析函数展开成泰勒级级数的方法数的方法1）直接法：直接求出，于是。01!nncfzn 00nnnf zczz2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开 1.洛朗洛朗级级数数的概念：的概念：，含正幂项和负幂项。0nnnczz 2洛朗展开定理洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析，f z102RzzR为圆环域内绕的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆c0z环域内，有，且展开式唯一。0nnnf zczz3解析函数的洛朗展开法：解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗利用洛朗级级数求数求围线积围线积分：分：设设在内解析，为 f z0rzzRc内的任何一条正向简单闭曲线，则。其中0rzzR 12cf z dzic 为在内洛朗展开式中的系数。1c()f z0rzzR01zz说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中的系10()zz数。11（十三）孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定孤立奇点的定义义：在点不解析,但在的内解 f z0z0z00zz析。2。孤立奇点的。孤立奇点的类类型：型：1）可去奇点：展开式中不含的负幂项；0zz 201020f zcczzczzL2）极点：展开式中含有限项的负幂项；0zz(1)21010201000()()()()()mmmmcccf zcc zzc zzzzzzzzLL 0,()mg zzz其中在解析，1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzc zzLL0z且；00,1,0mg zmc3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；0zz 1010000()()()()mmmmccf zcc zzczzzzzzLLLL（十四）孤立奇点的判别方法1可去奇点：常数；00limzzf zc2极点：0limzzf z 3本性奇点：不存在且不为。0limzzf z4零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数，如果能表示成 f z，0()mf zzzz其中在解析，为正整数，称为的级零点；z0z 00,zm0z f zm2）零点级数判别的充要条件12是的级零点0z f zm 000,(1,2,1)0nmfznmfzL3）零点与极点的关系：是的级零点是的级极点；0z f zm0z 1f zm4）重要结论若分别是与的级与 级零点，则za z zmn是的级零点；za zg zmn 当时，是的级零点；mnza zzmn当时，是的级极点；mnza zznm当时，是的可去奇点；mnza zz 当时，是的 级零点，mnza zzlmin(,)lm n当时，是的 级零点，其中mnza zzl()lm n（十五）留数的概念 1 留数留数的定的定义义：设为的孤立奇点，在的去心邻域0z f z f z0z内解析，为该域内包含的任一正向简单闭曲线，则称00zzc0z积分为在的留数（或残留），记作 12cf z dzi f z0z 0Re,s f zz 12cf z dzi 2留数的留数的计计算方法算方法若是的孤立奇点，则，其中为在0z f z 0Re,s f zz1c1c f z的去心邻域内洛朗展开式中的系数。0z10()zz1）可去奇点）可去奇点处处的留数：的留数：若是的可去奇点，则0z f z 0Re,s f zz02）级级极点极点处处的留数的留数m13法法则则 I 若是的级极点，则0z f zm 0Re,s f zz 01011lim()(1)!mmmzzdzzf zmdz 特别地，若是的一级极点，则0z f z 0Re,s f zz 00lim()zzzzf z 注：注：如果极点的实际级数比低，上述规则仍然有效。m法法则则 II 设，在解析，P zf zQ z ,P zQ z0z 00,P z，则 000,0Q zQz 000Re,P zP zszQ zQz（十六）留数基本定理设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，f zD12,nz zzL为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则cD 12Re,ncnf z dzis f zz 说说明：明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在 内各孤立奇点处留数的局部问题。f zc积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念()()()jwtF f tf t edtF w1411()()()2j tFFFedf t二、几个常用函数的傅里叶变换1()F e tj1()()F u tj ()1Ft12()F 三、傅里叶变换的性质 位移性（位移性（时时域）：域）：00()jwtF f tte()F f t 位移性（位移性（频频域）：域）：000()()()jw tw w wF ef tF wF ww 位移性推位移性推论论：0001sin()()()2Fw t f tF wwF wwj 位移性推位移性推论论：0001cos()()()2Fw t f tF wwF ww 微分性（微分性（时时域）域）：（），()()()F f tjw F w,()0tf t，()()()()nnF ftjwF w(1),()0ntft 微分性（微分性（频频域）：域）：()(),()()()nnFjt f tFwFjtf tFw 相似性：相似性：1()()wF f atFaa(0)a 四、拉普拉斯变换的概念0()()()stL f tf t edtF s五、几个常用函数的拉普拉斯变换；1ktL esk是自然数是自然数；（；（）11(1)!(mmmmmL tmss)1(1)1,(),(1)()2mmm；1()1L u tLs15()1Lt2222sin,cosksLktLktsksk2222s,ksLhktL chktsksk 设，则。（是以 为周期的周期()()f tTf t01()()1TTsL f tf t dte()f tT函数）六、拉普拉斯变换的性质 微分性（微分性（时时域）域）：20,()()(0)(0)L ftsF sfL fts F ssff 微分性（微分性（频频域域）：，()Lt f tFs ()()nnLtf tFs 积积分性（分性（时时域域）：0tF sLf t dts 积积分性（分性（频频域域）：（收敛）sf tLF s dst 位移性（位移性（时时域域）：atL ef tF sa 位移性（位移性（频频域域）：（,）sL f teF s00,()0tf t 相似性：相似性：1()()sL f atFaa(0)a 七、卷积及卷积定理1212()*()()()f tf tff td1212()()()()F f tf tF wF w12121()()()()2F f tf tF wF w1212()()()()L f tf tF sF s八、几个积分公式()()(0)f tt dtf00()()()f ttt dtf t15000()()()f tdtL f t dsF s dst160()()kts kf t edtL f t很明显，按照作业成本法下模型所核算出的菜品成本与传统成本法核算出的菜品成本不同。根据模型所核算出的菜品成本包括了根据资源动因、作业动因分配而来的职工薪酬、广告宣传费、维护折旧费、能源通讯费、清洁保管费等间接费用，而传统成本法核算出的菜品成本仅包括了模型中所提到的直接成本费用。