实验四傅立叶光学的空间频谱与空间滤波实验.doc

实验4 傅立叶光学的空间频谱与空间滤波实验
一、实验目的
1、了解透镜的傅里叶变换性质，加深对空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。
2、熟悉阿贝成像原理，从信息量的角度理解透镜孔径对分辨率的影响。
3、完成一维空间滤波、二维空间滤波及高通空间滤波。
二、实验原理
1873年阿贝（E.Abbe）首先提出显微镜成像原理以及随后的阿贝—波特空间滤波实验，在傅里叶光学早期发展史上做出重要的贡献。这些实验简单、形象，令人信服，对相干光成像的机理及频谱分析和综合原理做出深刻的解释，同时这种用简单的模板作滤波的方法一直延续至今，在图像处理技术中仍然有广泛的应用价值。
1、二维傅里叶变换和空间频谱
在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。设在物屏X-Y平面上光场的复振幅分布为g (x，y) ，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空间分布展开成一系列二维基元函数的线性叠加，即
（1）
式中fx、fy为x、y方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G (fx，fy)表示原函数g (x，y)中相应于空间频率为fx、fy的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为光场（optical field）g (x，y)的空间频谱。G (fx、fy)可由g (x，y)的傅里叶变换求得
(2)
g(x，y)与G (fx，fy)是一对傅里叶变换式，G (fx，fy)称为g(x，y)的傅里叶的变换，g(x，y)是G (fx，fy)的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种描述是等效的。
当g(x，y)是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为x0的一维函数g(x)，即g(x)=g (x+x0)。描述空间周期为x0的一维光栅时，光栅面上光振幅分布可展成傅里叶级数
(3)
上式中，n＝0，±1，±2，……；f0=1/x0 ，称为基频；fn=nf0，是基频的整数倍频，称为n次谐波的频率。Gn是g(x)的空间频率，由傅里叶变换得
(4)
2、透镜的二维傅里叶变换性质
在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距为F的正透镜L的前焦面（X-Y面）上放一光场振幅透过率为g(x，y)的物屏，并以波长为l的相干平行光照射，则在L的后焦面（X¢-Y¢面）上就得到g(x，y)的傅里叶变换，即g(x，y)的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱
(5)
其中空间频率fx、fy与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系
（6）
显然，就是空间频率为（）的频谱项的复振幅，是物的复振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的物理过程。由于分别正比于x¢，y¢，所以当l、F一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x¢=y¢=0，fx=fy=0对应于零频。
3、阿贝成像原理
现在我们知道，物体应该看成是大量空间信息的集合体，光信息处理涉及的空间信息的频谱不再是一个抽象的数学概念，它是展现在透镜焦平面上的物理实在。然而当初，最先把物体看成是大量空间信息的集合体的是阿贝。
1873年，德国人阿贝在研究显微镜设计方案时，提出了空间频率、空间频谱及二次衍射成像的概念，并进行了相应的实验研究。他认为：在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤。第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。
图1是阿贝成像原理示意图，图中物G是正弦振幅透射光栅，成像的第一步是光栅的夫琅禾费衍射。在G上取代表正弦光栅中的某些透光缝A、B、C，由正弦光栅透出的所有方向的光中，经计算知，只有三个方向的平行光是彼此相长地相干，会聚于焦平面F上，形成f+1、f0和f-1。第二步，把这些衍射图样f+1、f0和f-1看成是相干的子波源，这三列波在像平面H上相干迭加，就得到正弦光栅的像。
A
B
C
L
F
H
A¢
B¢
C¢
平行光
图1 阿贝成像原理
Y
G

成像的这两步骤本质上就是两次傅立叶变换，如果物的振幅分布是g(x,y)，可以证明在物镜后面焦面，上的光强分布正好是g(x,y)的傅立叶变换。（只要令，，为波长，F为物镜焦距）。所以第一步骤起的作用就是把一个光场的空间分布变成为：空间频率分布；而第二步骤则是又一次傅氏变换将又还原到空间分布。
按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义：
（1）谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。
（2）光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低离中心远的点代表物面上的高频成分，反映物的细节部分。靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。中心亮点是0级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景。
（3）光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向栅缝。
（4）光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。
由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换，它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。一般情况下，物体透过率的分布不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间频谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物体的全部空间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。
在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨出这些细节。这是限制显微镜分辨本领的根本原因。当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。
4、空间滤波和光信息处理
光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图1中透镜的后焦平面上放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。这种光学器件称为空间滤波器。
（b）高通

（c）带通

（d）方向

（a）低通

图 2 空间滤波器

图2给出了几种常用的空间滤波器。
（a）低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模糊。
（b）高通滤波：目的是滤去低频成分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节及边缘清晰。
（c）带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。
（d）方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。
(a)
(b)
(e)
(f)
图3 空间滤波器及空间滤波
(c)
(d)

假如用一块二维矩形光栅作为物，二维矩形光栅的空间结构分布如图3（a），将其放在图1的G处，由于它的振幅透射率是二维周期函数，因此它的空间频谱也应该是二维的，用fx，fy表示。当用平行光照射二维矩形光栅时，在图1中透镜的焦平面F上将显示出二维光栅的频谱，如图3（b）。假如用一块有狭缝的屏作空间滤波器，将狭缝沿Y轴竖直放置在图1中的F面上，它将挡掉图3（b）中所有的fx，仅保留fy，如图3（c），此时在像平面H上的像将如图3（d）所示。若用类似于图3（d）的一维光栅代替二维光栅放在图1的G处，则在图1的F和H面上也得到上述同样的像。这就是说，图3（c）中的这条狭缝把二维光栅的像处理成一维光栅的像了。若将狭缝水平放置，它将滤掉图3（b）中所有的fy，透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H上成的像将如图3（e）所示。如果让狭缝45°倾斜地放置在F面上，那么透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H上成的像将如图3（f）所示。这表明用一条狭缝作滤波器，当其取向不同时，可将二维光栅的物处理成上述各种方位的一维光栅的像。
以上是采用滤波器进行光信息处理的最简单的实例，这类滤波器从物体的全部空间信息中选出所需要的部分，从而实现对物体信息的处理，获得由物体的部分空间信息所构成的像。
三、实验仪器
光学导轨，He-Ne激光器，薄透镜若干，滤波器（方向，低通各一），光栅（正交），网格字，白屏，毛玻璃，直尺。
四、实验步骤与内容
1．共轴光路调节
(1) 在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端，上、下、左、右调节激光管，使激光束能穿过小孔；然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰俯，再使激光束能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具座上平移时，激光束均能通过小孔光阑。记录下激光束在光屏上的照射点位置。
(2)调整个器件高度，使激光器、显微物镜（扩束镜）、准直透镜、正交光栅、双凸透镜处于同一水平高度。(在做以后的实验时，都要用透镜，调平激光管后，激光束直接打在屏Q上的位置为O，在加入透镜L后，如激光束正好射在L的光心上，则在屏Q上的光斑以O为中心，如果光斑不以O为中心，则需调节L的高低及左右，直到经过L的光束不改变方向(即仍打在O上)为止；此时在激光束处再设带有圆孔P的光屏，从L前后两个表面反射回去的光束回到此P上，如二个光斑套准并正好以P为中心，则说明L的光轴正好就在P、O连线上。不然就要调整L的取向。如光路中有几个透镜，先调离激光器最远的透镜，再逐个由远及近加入其他透镜，每次都保持两个反射光斑套准在P上，透射光斑以O为中心，则光路就一直保持共轴。)
(3)调整准直透镜与显微物镜（扩束镜）之间的距离，使用白屏观察准直后的光斑，光斑在近处和远处直径大致相等（一般以图像的直径为38.5mm左右为宜）。注：此时应将显微物镜小口径端作为激光入射方向。
准直透镜L2
扩束镜L1
滤波器
L3：变换透镜
G：正交光栅
激光器

图4
2．解释阿贝成像原理实验（波特实验）
(1) 按图1-2布置光路。用He—Ne激光器发出的一束平行光垂直照射光栅，G是空间频率为每毫米几十条的二维的正交光栅，在实验中作为物。L是焦距为150mm的透镜，移动白屏使正交光栅在白屏上成放大的像。

(2) 调节光栅，使像上条纹分别处于垂直和水平的位置。这时在透镜后焦面上观察到二维的分立光点阵，这就是正交光栅的夫琅和费衍射(即正交光栅的傅里叶频谱)，而在像平面上则看到正交光栅的放大像(如图5(a))。
图5解释阿贝成像原理实验光路及实验图像
(3) 如在F面上设小孔光阑，只让一个光点通过，则输出面上仅有一片光亮而无条纹(如图5(b))。换句话说，零级相应于直流分量，也可理解为δ函数的傅里叶变换为1。
(4) 换用方向滤波器作空间滤波器放在F面上，狭缝处于竖直方位时，S屏上竖条纹全被滤去，只剩横条纹；当然横条纹也可看作几个竖直方向上点源发出光波的干涉条纹(如图5(c,d))。把狭缝转到水平方向观察S屏上条纹取向，并加以解释。
(5) 再将方向滤波器转45°角(如图1-2(e))。此时观察到像平面上条纹是怎样的?条纹的宽度有什么变化?
3．计算空间频率
（1）把二维正交光栅换成一维光栅，用白屏在L3的后焦面附近缓慢移动，确定频谱光点最清晰的位置，锁定白屏，察正交光栅的像的构成。
（2）在L3后焦面（频谱面）处放置可变圆孔光阑，挡去0级以外的各点，观察像面上有无光栅条纹。调节光阑，使0级和±1级通过，观察像面上的光栅条纹像，再把光阑拿开，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅条纹像，试看这两种情况的光栅条纹像的宽度有无变化。

（3）把白屏放在频谱面上，测量出0级与+1、+2级或-1、-2级衍射极大位置的宽度d1、d2，计算1级光点、2级光点的空间频率：
1级光点的空间频率
2级光点的空间频率
其中λ为所用激光光波波长（632.8nm）；为变换透镜的焦距。
4．空间滤波实验
由无线电传真所得到的照片是由许多有规律地排列的像元所组成，如果用放大镜仔细观察，就可看到这些像元的结构，能否去掉这些分立的像元而获得原来的图像呢？由于像元比像要小得多，它具有更高的空间频率，因而这就成为一个高频滤波的问题。下面的实验可以显示这样一种空间滤波的可能性。
前述实验中狭缝起的是方向滤波器的作用，可以滤去图像中某个方向的结构，而圆孔可作低通滤波器，滤去图像中的高频成分，只让低频成分通过。
(1) 按图6布置好光路。用显微物镜和准直透镜L1组成平行光系统。以扩展后的平行激光束照明物体，以透镜L2将此物成像于较远处的屏上，物使用带有网格的网格字（中央透光的“光”字和细网格的叠加），则在屏Q上出现清晰的放大像，能看清字及其网格结构（图7）。由于网格为周期性的空间函数，它们的频谱是有规律排列的分立的点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱就是连续的。
实验参考光路：

图1-3空间滤波实验光路图

图1-4 网格字成像放大图
2) 将一个可变圆孔光阑放在L的第二焦平面上，逐步缩小光阑，直到除了光轴上一个光点以外，其它分立光点均被挡住，此时像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。
试从空间滤波的概念上解释上述现象。
(3) 把小圆孔移到中央以外的亮点上，在Q屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些，这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字，演示了傅里叶变换的乘积定理。

五、实验要求
1、阿贝成像实验的光路调整：
（1) 用L1和L2组成扩束器，以其出射的平行光束垂直地射在铅直方向的光栅上。
（2) 在离光栅（物）2 m以外放置白屏，前后移动变换透镜，在屏上接收光栅像。
2、傅里叶光学空间频谱观察：
（1) 在L3后焦面（傅氏面）处置一可调狭缝光阑，挡住频谱0级以外的光点，观察像屏上是否还有光栅像。
（2) 调节狭缝宽度，使频谱的0级和1级通过光栏，观察像面上的光栅像；然后撤出光阑，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅像。比较这两种情况下光栅像有何变化。
（3) 白屏放在傅氏面上，观察0级至+1、+2级或-1、-2级衍射极大之间的距离。
（4) 二维的正交光栅替换一维光栅，让竖向的一系列光点通过铅直的狭缝光阑，观察像面上栅缝的方向。
（5) 将光阑转90°，再观察像面上栅缝的方向.
（6) 逐一完成表一中不同光阑的实验内容。

3．计算空间频率