1、返回上页下页结束2.6 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵一.用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程返回上页下页结束一、等价定理一、等价定理定理定理1：设设A是是n阶方阵，则如下的命题等价：阶方阵，则如下的命题等价：（1）A是可逆的是可逆的；（2）AE，E是是n阶单位矩阵；阶单位矩阵；（3）存在）存在n阶初等矩阵阶初等矩阵（4）A可经过有限次初等变换化为可经过有限次初等变换化为E.证明证明1 （1）（2）易证明）易证明(见书上证明见书上证明)（2）（3）因为A E，再由矩阵那么，把E变为A的初等变换,即有：等价的对称性，有有 E A。所对应的初等矩阵为，所以，所以 返回上页下页结束（3）（4），
2、由，由 有有 由于由于 仍是初等矩阵，上式说明对A 实施有限次初等行变换可化为E，列的情形类似可得。（4）（1）设A可经有限次初等行变换可化为E，则存在初等矩阵，使由于初等矩阵可逆，所以A可逆。证毕。证毕。返回上页下页结束分析:A 可逆 上式表明:若,则 A 可逆,且 X 即为AX=B 的解 X=A1B.特别,若 即如何求 X=A1B?给定n 阶可逆方阵 A 及 ns 阶矩阵 B,如何解 AX=B?左侧的意义：对A、B 作相 同的行变换 即有 返回上页下页结束例1：设，试用初等变换法求解：返回上页下页结束所以返回上页下页结束例例2.设问B是否可逆？解法解法1.若可逆，求其逆阵 B 1。可见B不
3、可逆不可能化为 单位阵返回上页下页结束 B不可逆一、二两行相同一、二两行相同！解法解法2.利用“A可逆 A ”返回上页下页结束例例3.求解解解:原方程变形为 返回上页下页结束可见 A E 可逆,且注注:若要求若要求 思考:设 A,B 可逆,如何解矩阵方程 AXB=C?方法一：注意：注意：这个 r2 是新的结果方法二：返回上页下页结束内容小结内容小结1.矩阵的初等变换与初等矩阵 2.用初等变换法求矩阵的逆:作业 P64.25(1),（2）注意注意:初等矩阵可逆,其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵右右乘 A 对A 作列列变换 3.用初等变换法求 AX=B 的解 X=A1B:4.与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵解 YA=C 转化为解 用初等矩阵左左乘 A 对A 作行行变换
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