Lagrange插值及Newton插值.doc

实验报告
实验项目
插值法
实验日期
2016/9/30
理论内容
Lagrange插值与Newton插值
授课日期

实验室名称
文理管203
微机编号
E1
实验目的及要求：
1、了解多项式差值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导。
2、了解拉格朗日插值多项式的构造、计算及其基函数的特点，牛顿插值多项式的构造与应用，差商、差分的计算及基本性质。

实验内容：
编写Lagrange插值法及Newton插值法通用子程序，依据数据表

0.32
0.34
0.36

0.314567
0.333487
0.352274
构造一个抛物插值多项式及，计算的近似值并估计误差。
实验步骤及程序：
1、 Lagrange插值公式算法流程图
开始
输入

输出y
结束

Newton插值公式算法流程图
调用函数ChaShang（）

返回i阶差商f
调用函数Newton（）

I阶差商f=ChaShang（i,X,Y）
temp=1

i

/*拉格朗日插值*/
public class Lagrange_interpolation {

/*拉格朗日插值法*/
private static double[] Lag_method(double X[], double Y[], double X0[]) {
int m = X.length;
int n = X0.length;
double Y0[] = new double[n];
for (int i1 = 0; i1 < n; i1++) {//遍历X0
double t = 0;
for (int i2 = 0; i2 < m; i2++) {//遍历Y
double u = 1;
for (int i3 = 0; i3 < m; i3++) {//遍历X
if (i2 != i3) {
u = u * (X0[i1] - X[i3]) / (X[i2] - X[i3]);
}
}
u = u * Y[i2];
t = t + u;
}
Y0[i1] = t;
}
return Y0;
}
public static void main(String[] args) {
/*输入插值点横纵坐标*/
System.out.println("Input number of interpolation point:");
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int m = scan.nextInt();
System.out.println("Input number of test point:");
int n = scan.nextInt();
double X[] = new double[m];
double Y[] = new double[m];
double X0[] = new double[n];
System.out.println("Input the elements of X:");//已知插值点
for (int i = 0; i < m; i++) {
X[i] = scan.nextDouble();
}
System.out.println("Input the elements of Y:");//已知插值点的函数值
for (int i = 0; i < m; i++) {
Y[i] = scan.nextDouble();
}
System.out.println("Input the elements of X0:");//需要求的插值点的横坐标标值
for (int i = 0; i < n; i++) {
X0[i] = scan.nextDouble();
}
double Y0[] = Lag_method(X, Y, X0);//使用拉格朗日插值法求解得到需求插值点的纵坐标值
System.out.println("拉格朗日插值法求解得:");
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(Y0[i] + " ");
}
System.out.println();
}
}

Newton插值源程序
import java.util.Scanner;

public class Newton_interpolation {
/*拷贝向量*/
private static void copy_vector(double from[],double to[]){
int k=from.length;
int k2=to.length;
if(k!=k2){
System.out.println("the two vector's length is not equal!");
System.exit(0);
}
for(inti=0;iuble[n];
double[] cp_Y=new double[m];
for(int i1=0;i1])/(X[i2]-X[kk-1]);
}
}
/*求插值结果*/
double temp=cp_Y[0];
for(int i=1;i<=m-1;i++){
double u=1;
intjj=0;
while(jj temp+=cp_Y[i]*u;
}
Y0[i1]=temp;
}
return Y0;
}
public static void main(String[] args) {
/*输入插值点横纵坐标*/
System.out.println("Input number of interpolation point:");
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int m=scan.nextInt();
System.out.println("Input number of test point:");
int n=scan.nextInt();
double X[]=new double[m];
double Y[]=new double[m];
double X0[]=new double[n];
System.out.println("Input the elements of X:");//已知插值点
for(inti=0;ii

结果分析与讨论：
拉格朗日插值法求解得:
0.3303743620375
牛顿法解得
0.3303743620375
1、Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f（x）的近似函数P（x），从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。
2、实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。
3、实验所得结果精确度并不高，一方面是因为所给数据较少，另一方面也是主要方面在Win32中C++中数据类型double精度只有7位，计算机在进行浮点运算时截断运算会导致误差。实际问题中，测量数据也可能导致误差。
4、在解决实际问题中，更多是利用精确且高效的计算机求解。所以解决问题时不仅要构造可求解的算法，更重要是构造合理的可以编写成程序由计算机求解的算法，而算法的优化不仅可以节省时间空间，更能得到更为精确有价值的结果。

实验报告评分标准
评分项目
满分
得分
评分项目
满分
得分
实验步骤及程序
10

运行结果
5

结果分析与讨论
5

合计
20

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