1、2.1 2.1 导数的概念导数的概念一、导数概念的引入一、导数概念的引入二、导数的定义二、导数的定义三、单侧导数三、单侧导数四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系一、导数概念的引入一、导数概念的引入求函数变化率的两个实例求函数变化率的两个实例实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动的瞬时速度.设设质点的运动方程为质点的运动方程为：s=s(t).).则则从时刻从时刻t0到到t0+t时间段内时间段内，质点走过的路程为：，质点走过的路程为：s=s(s=s(t0+t)-s()-s(t0)在时间间隔在时间间隔tt内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为:当
2、当 t0 0时，时，取极限取极限得得质点在时刻质点在时刻t t0 0的瞬时速度的瞬时速度:实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 1即即其它形式其它形式实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动的瞬时速度:实例实例2 曲线曲线y=f(x)上一点上一点M(x0,f(x0)处的切处的切线斜率线斜率tana a=f(x0)定义定义2 2注意
3、注意:注意注意（2）右导数）右导数:单侧导数单侧导数（1）左导数）左导数:定义定义左、右导数统称为左、右导数统称为单侧导数单侧导数定理定理1注意注意:由定义求导数由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解更一般地更一般地例如例如,例例6 6解解注意导数的几何意义与物理意义注意导数的几何意义与物理意义（1）几何意义）几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例7 7解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为（2）物理意义）物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时
4、变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.定理定理 若若 f(x)在在 x0 处可导，则处可导，则 f(x)在在 x0 处处连续连续.证证三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立(连续函数未必可导连续函数未必可导)例如例如y=|x|在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.例例
5、7 7解解例例8 8解解小结小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数有什么区别与联系?与导函数2.设存在,则3.已知则4.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解2.2 函数的求导法则函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则二、反函数求导法则二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则定理定理证证(3)(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略.推论推论例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解例例7 7解解三、小结三、小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.Z 思考思考1、求曲线求曲线 上与上与 轴平行的切线方程轴平行的切线方程.解答解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和
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