双曲线的基本性质与解题技巧.pdf

1双曲双曲线线的基本性的基本性质质与解与解题题技巧技巧双曲线定义：双曲线定义：双曲线的第一定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线双曲线的第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线的距离比是常数 e(e1)的点的轨迹叫做双曲线双曲线的标准方程：双曲线的标准方程：中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线：22221(0,0)xyabab中心在原点、焦点在 y 轴上的双曲线：22221(0,0)yxabab双曲线的基本性质：(以为例)22221(0,0)xyabab范围：x-a，或 xa 图像关于 x 轴、y 轴、原点对称，两顶点是，实轴长为 2a，虚轴长为 2b。(,0)a离心率 22(1,),cecaba渐近线方程为，准线方程是。byxa 2axc【例 1】已知双曲线的离心率为 2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的22221xyab221259xy焦点坐标为_；渐近线方程为_。实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，记作：，等轴双曲线的离心率22(0)xyk k，且两条渐近线互相垂直。2e 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为 22221(0,0)xyabab2222(0)xyk kab2以为渐近线的双曲线方程为 0 xyab2222(0)xyk kab点和双曲线的关系：00(,)P xy点 P 在双曲线内(含焦点)22221xyab点 P 在双曲线上 22221xyab点 P 在双曲线外22221xyab常见题型：常见题型：一、求双曲线标准方程一、求双曲线标准方程求双曲线的标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法。基本步骤：定型(确定它是双曲线)定位(判断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上)定量(建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a，b 的值。)【例 2】一炮弹在某处爆炸，在 F1(-5000，0)处听到爆炸声的时间比在 F2(5000，0)处晚秒，已30017知坐标轴的单位长度为 1 米，声速为 340 米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。【例 3】已知双曲线的离心率为，右准线方程为，求双曲线2222:1(00)xyCabab，333x C 的方程。【例 4】与双曲线有有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为2212xy(2,2)M_。二、双曲线的焦半径公式二、双曲线的焦半径公式双曲线上一点的22221xyab00(,)P xy左焦半径为；10PFaex3右焦半径为。20PFaex双曲线上一点的22221yxab00(,)P xy 下焦半径为，10PFaey 上焦半径为。20PFaey【例 5】(2004 重庆)已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线22221(0,0)xyabab的右支上，且，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_。124PFPF三、焦点三角形三、焦点三角形 双曲线上的点与两焦点构成的称作焦点三角形，记00(,)P xy12FPF12FPF由余弦定理得，即21 22cos1brr 21 22arccos(1)brr12221 201sinsincot21cos2F PFSrrbbc y【例 6】P 是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是，且22221(0,0)xyabab54，若的面积是 9，则 ab 的值等于_。1290FPFo12FPF【例 7】双曲线的左右焦点分别为 F1、F2，P 在双曲线上，且满足221(1)xynn，则的面积为_。1222PFPFn12FPF四、四、“离心率离心率”突破口：根据题目条件找 的关系，从而求出离心率。【例 8】已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，点 A 在双曲线上，且 22221(0,0)xyabab轴，若，则双曲线的离心率等于()2AFx1253AFAF4本讲小结：本讲小结：1双曲线的定义及基本性质2焦半径、焦点三角形的定义及其应用。3离心率的定义及其应用。练习：练习：1双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m_。221mxy2与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为_。221916xy(3,2 3)3已知双曲线的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则 2213yx 最小值为_。12PA PFuuu r uuu u r4求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的比例中项。5在双曲线的一支上有不同的三点，它们与焦点 2211213yx1133(,),(26,6),(,)A x yBC xy的距离成等差数列，求。(0,5)F13yy