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高考总复习：复数
【考纲要求】
1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.
【知识网络】

【考点梳理】
考点一、复数的有关概念
1.虚数单位:
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：，，，（）.

2. 概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。
说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
所以复数的分类如下:
　　（）
5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果，那么.
特别地: .
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。　
6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数和（）互为共轭复数。
考点二：复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
；
；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。
考点三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；
（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
向量的长度叫做复数的模，记作.即.
要点诠释:
（1）向量与点以及复数有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：
两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
要点诠释:
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。
【典型例题】
类型一：复数的有关概念
【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：
(1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限。
【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。
【答案】
(1)当即时，复数是纯虚数；
(2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】
复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：
()；是纯虚数（）；
举一反三：
【变式1】复数为纯虚数，则实数a为(　　)．
A．2 B．－2 C．－ D.
【答案】A
【解析】，
由纯虚数的概念知：＝0，∴a＝2.
【变式2】求当实数取何值时，复数分别是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
【解析】
（1）当即或时，复数为实数；
（2）当即且时，复数为虚数；
（3）当即时，复数为纯虚数.
【变式2】已知复数满足且,则复数（ ）
A.必为纯虚数　　　 B.是虚数但不一定是纯虚数
C.必为实数　　　 　 D.可能是实数也可能是虚数
【答案】
[法1] 设（），有,.
则，故应选C。
[法2] ∵,∴.
[法3] ∵，∴ .
类型二：复数相等
【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b
【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。
【解答】
…………………………①
或…………………………………………②
或…………………………③
由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2
由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;
由③得,此方程组无整数解。
综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。
【总结升华】
1、a+bi=c+di.
2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。
注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。
举一反三：
【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.
类型三：复数的代数形式的四则运算
【例3】计算：
【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
【解析】
【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。
举一反三：
【变式1】
【答案】：原式=

【变式2】复数( )
. B. C. D.
【解析】选C 解法一：
解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案.
【例4】已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，且|z2|＝求z2.
【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.
z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
∵|z2|＝
∴|z2(5＋5i)|＝50，
∴z2(5＋5i)＝±50，

【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
(2)记住以下结论，可提高运算速度：
①(1±i)2=±2i；
⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).
2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。
举一反三：
【变式1】设，（为虚数单位），则的值为
【解析】因为，
所以
【答案】8
【变式2】设i为虚数单位，则复数
A. B. C. D.
【解析】选D. .
类型三：复数的几何意义
【例5】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.
【思路点拨】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。
【解析】∵
∴ ，解得
∴的取值范围为.
【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
举一反三：
【变式1】若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】：∵所对应的点在第二象限
∴且，且
∴，故选D
【变式2】在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)．
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
【答案】C
【解析】复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为
B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C
对应的复数为2＋4i.
类型四：化复数问题为实数问题
【例6】已知互为共轭复数，且,求.
【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。
【解析】设（），则, 代入原等式得：
∴，解得：或或或，
∴ 或 或 或。
【总结升华】
复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。
举一反三：
【变式1】已知复数，求实数使
【答案】：∵, ∴

∵, ∴，解得或
【变式2】令,求使方程成立的复数.
【答案】：令()，则原方程化为:
即，
∴ ，解之有或(舍去）
∴当时，复数.
【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.
【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。
【解析】设为方程的一个实根，则有
即
∴，解得.
【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。
举一反三：
【变式】已知方程有实根，求实数.
【答案】：设实根为, 则
,即
∴ ，解得
∴ 为所求.
【变式2】已知，方程的两根为、，求.
【答案】：∵，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。
(1)当，即时，方程的根、为实数根，
由韦达定理
又∵
∴

①当时，,
②当时，.
(2)当,即时，方程的根、为虚根。