1、第一节 可测函数及其性质第四章 可测函数三三.可测函数的性质可测函数的性质一一.可测函数定义可测函数定义二二.可测函数的等价描述可测函数的等价描述四.可测函数与零集的关系五五.可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系一一.可测函数定义可测函数定义定义1：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )，若 可测，则称f(x)是E上的可测函数例例 (1)(1)零集上的任何函数都是可测函数零集上的任何函数都是可测函数。例例(2)(2)简单函数是可测函数简单函数是可测函数注：0,1上的Dirichlet函数是简单函数。例（例（3 3）可测集）可测集E E上的连续函数上的连续函数f(x)f(x)必为可
2、测函数必为可测函数对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在 处连续结论：可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数证明：任取xEfa,则f(x)a,由连续性假设知，则G为开集，为可测集，且二二.可测函数的等价描述可测函数的等价描述证明：定理1 设f(x)是可测集E上的实函数，下列任一条件都是f(x)在E上可测的充要条件三三.可测函数的性质可测函数的性质定理1:可测函数关于子集、并集的性质l反之，若 ,f(x)在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。l即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)在E1上也是可测函数；即即:若若f(x),g(x
3、)f(x),g(x)是是E E上的可测函数上的可测函数,则对任意的有限实数则对任意的有限实数，f(x)f(x)，f(x)+g(x),f(x)-g(x),1/f(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)f(x)+g(x),f(x)-g(x),1/f(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)，|f(x)|f(x)|仍为仍为E E上的可测函数。上的可测函数。定理定理2 2：可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭定理定理3:3:可测函数类关于确界运算和极限运算封闭可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.推论：特別当极限存在时，它也是可测函数。推论：特別当极限存在时，它也是可测函数。可测
4、函数列的极限函数仍为可测函数可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。即若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。例：例：R R1 1上的可微函数上的可微函数f(x)f(x)的导函数的导函数f(x)f(x)是可测函数是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f(x)是可测函数.证明：由于gn(x)9494页第页第2 2题题 设设f fn n 是可测函数列，则它的收敛点全是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集体和发散点全体是可测集.
5、证明：发散点全体为 收敛点全体为再1 1：几乎处处成立：几乎处处成立四.可测函数与零集的关系例1：例2：注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E 1=Efg，E 2=Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测，定理：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测。2 2：函数可测性与零集的关系注：当注：当f(x)f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛l若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限 ，而且还可办到五五.可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系
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