第二章-塞瓦定理及应用.doc

第二章 塞瓦定理及应用
【基础知识】
塞瓦定理 设，，分别就是得三边，，或其延长线上得点，若，，三线平行或共点，则． ①
证明 如图2-1（）、（），若，，交于一点，则过作得平行线，分别交，得延长线于，，得．

又由，有．
从而．
若，，三线平行，可类似证明（略）．
注 （1）对于图2-1（）、（）也有如下面积证法：
由：，即证．
（2）点常称为塞瓦点．
（3）共点情形得塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证．
首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形得塞瓦定理．
如图2-1（）、（），分别对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理有
，．
上述两式相乘，得．
其次，由共点情形得塞瓦定理推证梅涅劳斯定理．
如图2-2，设，，分别为得三边，，所在直线上得点，且，，三点共线．令直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点．

分别视点，，，，，为塞瓦点，应用塞瓦定理，即
对及点（直线，，得交点），有．
对及点（直线，，得交点），有．
对及点（直线，，得交点），有．
对及点（直线，，得交点），有．
对及点（直线，，得交点），有．
对及点（直线，，得交点），有．
上述六式相乘，有．
故．
塞瓦定理得逆定理 设，，分别就是得三边，，或其延长线上得点，若
， ②
则，，三直线共点或三直线互相平行．
证明若与交于点，设与得交点为，则由塞瓦定理，有
，又已知有，由此得，即，亦即，故与重合，从而，，三线共点．
若，则．代入已知条件，有，由此知，故
．
上述两定理可合写为：设，，分别就是得，，所在直线上得点，则三直线，，平行或共点得充要条件就是． ③
第一角元形式得塞瓦定理 设，，分别就是得三边，，所在直线上得点，则三直线，，平行或共点得充要条件就是
． ④
证明 由，，，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立．
第二角元形得塞瓦定理 设，，分别得三边，，所在直线上得点，就是不在得三边所在直线上得点，则，，平行或共点得充要条件就是
． ⑤
证明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有

．
由此即证得结论．
注 在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式得右端仍为1．特别要注意得就是三边所在直线上得点或者两点在边得延长线上，或者没有点在边得延长线上．④、⑤式中得角也可按①式得对应线段记忆．
推论 设，，，分别就是得外接圆三段弧，，上得点，则，，共点得充要条件就是
．
证明 如图2-3，设得外接圆半径为，交于，交于，交于．由，，，，，六点共圆及正弦定理，有．

同理，，．
三式相乘，并应用第一角元形式得塞瓦定理即证．
为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图2-4中得点、、、、、，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子：

对及点有 ，
对及点有 ，
对及点有 ，
对及点有 ，
对及点有 ，
对及点有 ，
对及点有 ，
对及点有 ．
【典型例题与基本方法】
1．恰当地选择三角形及所在平面上得一点，就是应用塞瓦定理得关键
例1 四边形两组对边延长分别相交，且交点得连线与四边形得一条对角线平行．证明：另一条对角线得延长线平分对边交点连线得线段． （1978年全国高中竞赛题）
证明 如图2-5，四边形得两组对边延长分别交于，，对角线，得延长线交于．

对及点，应用塞瓦定理，有
．
由，有，代入上式，
得，即．命题获证．
例2 如图2-6，锐角中，就是边上得高，就是线段内任一点，与得延长线分别交，于，．求证：． （1994年加拿大奥林匹克试题）

证法1 对及点，应用塞瓦定理，有． ①
过作，延长，分别交于，，则，且，，从而
，．
而由①，有，故．
由此知为等腰底边上得高，故．
证法2 对及点应用塞瓦定理，有

．
即，由锐角性质知．类似地，对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有．
注 将此例中得平角变为钝角，则有如下：
例3 如图2-7，在四边形中，对角线平分．在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．
（1999年全国高中联赛题）

证明 连交于，对及点，应用塞瓦定理，有
．
平分，由角平分线性质，可得
，故．
过点作得平行线交得延长线于，过点作得平行线交得延长线于，则
．所以．
从而，．
又，，有．
因此，，即有．
故 ．
注 由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题．
例4 如图2-8，就是得中线，在上，分别延长，交，于，，过作交于，及为正三角形．求证：为正三角形．

证明 连，对及点应用塞瓦定理，有
．而，则．
由，由．
于就是，有，从而，即知四边形为平行四边形，有．
又，则．
而，，知，有，．于就是

．
故为正三角形．
例5 如图2-9，在一个中，，为内满足及得一点．求证：就是得三等分线． （1994年香港代表队选拔赛题）

证明 用表示得度量，令，则，，，（其中注意）， ．
对及点，应用第一角元形式得塞瓦定理，有
．
亦即 ．
于就是 ，
即 ．
而，则．
因 ，则．
，即．
从而

．
故 ，即就是得三等分线．
利用第一角元形式得塞瓦定理可简捷处理2009年全国高中联赛加试第一题得第1问：
例6 设、分别为锐角（）得外接圆上弧、得中点．过点作交圆于点，为得内心，联结并延长交圆于点．求证：．
证明 事实上，易知、、及、、分别三点共线，对及点应用第一角元形式得塞瓦定理，有． ①
由知，有．
于就是①式即为．
故．
2．注意塞瓦定理逆定理得应用以及与梅涅劳斯定理得配合应用
例7 如图2-10，在中，，为上给定得一点（不就是线段得中点）．设为直线上与，都不相同得任意一点，并且直线，交于，直线，交于，直线，交于．试证明交点与在直线上得位置无关．
（1990年苏州市高中竞赛题）

证明 设分线段为定比，分线段为定比．下证由确定，即当，给定后，点得位置由点唯一确定．
在中，由，，交于一点，应用塞瓦定理，有
，即．
对及截线，应用梅涅劳斯定理，得
，即．
上述两式相加，得．
从而，即，故由唯一确定．
因此，点与在直线上得位置无关．
例8 如图2-11，设为内任一点，在形内作射线，，，使得，，．求证：，，三线共点．

证法1 设交于，交于，交于，则由正弦定理有
．
同理，,
．
将上述三式相乘，并应用正弦定理，有
．
由塞瓦定理得逆定理，知，，共点．
证法2 设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．
对及点，应用塞瓦定理，有 ．
在与中应用正弦定理，有

．
同理，，．
以上三式相乘，并注意到①式，有
．
由塞瓦定理得逆定理，知，，共点．
证法3 设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．对及点，应用角元形式得塞瓦定理，有
．
由题设，，，则有，，．
于就是
，
对，应用角元形式得塞瓦定理得逆定理，知，，三线共点．
例9 如图2-12，四边形内接于圆，其边与得延长线交于点，与得延长线交于点，过点作该圆得两条切线，切点分别为与．求证：，，三点共线．
（1997年试题）

证明 连分别交，于，，设与交于．要证，，三点共线，只须证明，，与，，都三点共线，又只须证明，，三线共点．由塞瓦定理得逆定理知只须证明．
又直线截，应用梅涅劳斯定理，有
，从而只须证明．
设圆心为，连交于，连，，，，则由切割线走理与射影定理，有，即知，，，四点共圆，有，此表明为得内角得外角平分线．而，则平分．于就是，
，结论获证．
【解题思维策略分析】
1．获得线段比例式得一种手段
例10 如图213，中，，分别为与同方向延长线上得点，与相交于，且．若点满足（为常数），则．

证明 设交于，对及其形外一点，应用塞瓦定理，有．
而，则．
不妨设，则，即有，于就是，故．
此时，点到得距离不小于到得距离，则过作必交延长线于一点，设为．又作得外接圆交于另一点，则四边形为等腰梯形．当时，由，知必在线段上，于就是，（同弧上得圆外角小于同弧上得圆周角）．
又由，知．故结论获证．
2．转化线段比例式得一座桥梁
例11 设为内任一点，，，分别交，，于，，．求证：．
证明 如图2-14，记，，．对及点，应用塞瓦定理，有．

对及截线，应用梅涅劳斯定理，有
，即
．
由合比定理得，即．
同理，，
．
三式相加，得．
例12 如图2-15，设为内任意一点，，，得延长线交对边，，于点，，，交于．试证：．

证明 令，，，对及点，应用塞瓦定理，有．
对及截线，应用梅涅劳斯定理，有
．注意到，则有
，即，故．
又对直线截，有．而，则，故．
又对及截线，有，即有 ，故．
从而

．
于就是，．
其中等号由中等号成立时成立，即当且仅当亦即当且仅当，亦即时取等号．此时，与之间成为如图2-16得双曲线得关系．

例13 如图2-17，已知直线得三个定点依次为、、，为过、且圆心不在上得圆，分别过、两点且与圆相切得直线交于点，与圆交于点．证明：得平分线与得交点不依赖于圆得选取． （45预选题）

证明 设得平分线交于点，交圆于点，其中与就是不同得两点．
由于就是等腰三角形，则有．
同理，在中，有．
在中，视为塞瓦点，由角元形式得塞瓦定理，有．
注意到，．
则 ．
即 ，故结论获证．
3．求解三角形格点问题得统一方法
如果三角形得三个角得度数都就是10得整数倍，三角形内一点与三角形得三个顶点分别连结后，得到得所有得角也都具有这个性质，我们称这样得点为三角形得格点．
例14 如图2-18，在中，，，与分别就是与上得点，使得，，就是直线与得交点．证明：直线与直线垂直．
（1998年加拿大奥林匹克试题）

证明 设，则，对及点，应用第一角元形式得塞瓦定理，有
．
从而 ，即有

．
．
注意到，知，，有
，故．
延长交于，则．故．
注 此题也可这样来解：由，有
．
由于作为得函数在上严格递减，
所以．故．因此，．
或者过点作于，则，．
关于有．所以，、、三线共点，因此点在上，即．
例15 如图2-19，在内取一点，使得，．设，，求． （1983年前南斯拉夫奥林匹克试题）

解 设，则．由第一角元形式得塞瓦定理，有 ．
从而 ．
，
，

．
于就是 ．
注意到 ，知，．
，故 ．
所以 为所求．
注 此题结果也可直接由①式有
且，，求得．
另外，此题也可这样来解：由，有
．
因为作为得函数在（，）上严格递减，所以．故．
或者由，令，则．对与点应用第一角元形式得塞瓦定理，有
．
则．
因为作为得函数在上严格递增，所以．
例16 如图2-20，具有下面性质：存在一个内部得点，使得，，，．证明：就是等腰三角形．
（1996年美国第25届奥林匹克试题）

证明 设，则．由第一角元形式得塞瓦定理，有
．
即有 ．

，
．
从而 且，，
故，即，从而．
注 此题也可这样来求解：由，
有
．
因为作为得函数在（，）上严格递减，所以 ，即．故．
还可对及点应用第一角元形式得塞瓦定理来求．
4．论证直线共点得一种工具
例17 如图2-21，在四边形中，，，过，得交点引，，其中交，于，，交，于，．，分别交于，，则．
（1990年CMO选拔试题）

证明 在，上分别取，，使，，则由对称性可知有下列角相等，即若设，，，，，，则，又，故．又，故，．
连交于，在中，

．
故由塞瓦定理得逆定理，知，，共点，即过点．由对称性知，．
例18 如图2-22，在锐角中，以点引出得高为直径作圆交，于，，再从作．同样可作出，．试证：三直线，，相交于一点． （第29届预选题）

证明 设与，分别相交于点，，由，，知，即．
同理，设，边上得高，得垂足分别为，，且，分别与，交于，，则有
，．
由于得三条高相交于垂心，此时应用第一角元形式得塞瓦定理，得
，
用等角代换上式，有
．
故由第一角元形式得塞瓦定理，知，，三线共点，即，，相交于一点．
例19 如图2-23，四边形内接于圆，，得延长线交于，，得延长线交于，为圆上任一点，，分别交圆于，．若对角线与相交于，求证：，，三点共线．

证明 连，，，，，．由，，有，，此两式相乘，有． ①
又由，，有
，，
此两式相乘，有 ．
由①②，得 ．
上式两边同乘以，得 ．
对及截线，应用梅涅劳斯定理，有
．
于就是 ．
此时，应用第一角元形式得塞瓦定理得推论，知，，交于一点．从而，，三点共直线．
【模拟实战】
习题A
1．在中，就是上得点，，就是中点．与交于，交于，求四边形得面积与得面积得比．
2．若通过各顶点得直线，，共点，并且它们在边，，所在直线上得截点，，关于所在边中点得对称点分别为，，，则直线，，也共点．
3．一圆交得各边所在直线于两点，设边上得交点为，，边上得交点为，，边上得交点为，．若，，共点，则，，也共点．
4．试证：过三角形顶点且平分三角形周长得三条直线共点．
5．将各内角三等分，每两个角得相邻三等分线相交得，又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．
6．将得各外角三等分，每两个外角得相邻三等分线相交得．又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．
7．就是得内切圆，，，上得切点各就是，，．射线交于，同样可得，．试证：直线，，共点．
8．在内部，且从，，各向，，所作得垂线共点，则从，，各向，，所作得垂线也共点．
9．在中，，为形内一点，，，求得度数．
10．在中，，，为形内一点，且，求得度数．
（《数学教学》问题432题）
11．在中，，，为形内一点，，求得度数． （《数学教学》问题491题）
12．在中，，，为得平分线上一点，使，交于，交于．求证：． （《数学教学》问题531题）
13．在中，，，为形内一点，，，求得度数． （《数学通报》问题1023题）
14．在中，，，为形内一点，且，，求得度数． （《数学通报》问题1142题）
15．在中，，，为形内一点，，，求得度数． （《数学通报》问题1208题）
16．中，，，为形内一点，，．求证：． （《数学通报》问题1306题）
17．在中，，，为形内两点，， ．求证：，，三点共线． （《数学通报》问题1243题）
18．中，，，为形内两点，， ．求证：． （《数学通报》问题1281题）
19．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求得度数． （《数学通报》问题1073题）
20．，，，，，顺次分别在得三边，，上，且，，
，过，，分别作，，得平行线，，．求证：，，三线共点得充要条件就是，，三线共点．
21．在中，，于，过任作两射线分别交，于点，，交过点得平行线于，，且．求证：，，共点．
22．在中，过三边，，边中得中点，，得三条等分三角形周长得直线，，（，，在三角形三边上）分别交，，于，，．求证：，，三线共点．
23．得内切圆切，，于，，．就是内一点，交内切圆于两点，其中靠近得一点为，类似定义，．试证：，，三线共点．
24．在内部，得延长线分别交，于，；得延长线分别交，于，；得延长线分别交，于，，且满足 ．求证：，，所在直线共点．
（《中学数学教学》擂台题（28））
25．给定，延长边至，使．得外接圆与以为直径得圆相交于与．设与得延长线分别交与于，．求证：，，共线．
（第15届伊朗奥林匹克题）
26．在得边上向外作三个正方形，，，就是正方形中得边，，对边得中点．求证：直线，，共点．
习题B
1．就是得内切圆，，，，分别就是，，上得切点，，，都就是得直径．求证：直线，，共点． （《数学通报》问题1396题）
2．四边形得内切圆分别与边，，，相切于，，，．求证：，，，四线共点． （《数学通报》问题1370题）
3．锐角中，角得平分线与三角形得外接圆交于另一点，点，与此类似．直线与，两角得外角平分线交于，点，与此类似．求证：（Ⅰ）三角形得面积就是六边形得二倍；（Ⅱ）三角形得面积至少就是三角形面积得四倍． （-30试题）
4．设为内一点，使，就是线段上得点，直线，分别交边，于，．求证：．
5．在凸四边形中，对角线平分，就是得延长线上得一点，交于点，延长交得延长线于．试证：．
6．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求得度数． （《数学通报》问题1073题
7．设就是等边三角形，就是其内部一点，线段，，依次交三边，，于，，三点．证明：． （-37预选题）
8．在一条直线得一侧画一个半圆，，，就是上两点，上过与得切线分别交于与，半圆得圆心在线段上，就是线段与得交点，就是上得点，．求证：平分． （-35预选题）
9．设就是锐角得内接正方形得中心，其中内接正方形得两个顶点在边上，一个顶点在边上，一个顶点在边上．同样定义两个顶点分别在边与边上得内接正方形得中心分别为，．证明：，，交于一点． （-42预选题）
10．以得底边为直径作半圆，分别与，交于点，，分别过点，作得垂线，垂足依次为，线段与交于点．求证：．
（1996年国家队选拔考试题）
11．设，就是锐角得外接圆得圆心与垂心．证明：存在，，分别在线段，，上，使得，且此时，，三线交于一点．
（-41预选题）
12．已知就是得直径，弦于，点与分别在线段与上，且∶∶，射线，交于，．求证：，，三线共点．
13．设就是得内心，以为圆心得一个圆分别交于，，交于，，交于，．这六个点在圆上得顺序为，，，，，．设，，为弧，，得中点，直线，相交于，直线，相交于，直线，相交于．求证：直线，，三线共点．
14．在得边与上分别向形外作与，使，且 ．求证：连线，与边上得高三线共点．
15．过非等边三角形各顶点作其外接圆得切线，则各切线与其对边得交点共线．
16．在内三点，，满足，，则，，三线共点得充要条件就是．
17．在任意得三边，，上各有点，，，而就是内部任一点，直线，，分别交线段，，于，，．求证：直线，，共点得充分必要条件就是，，共点，而与点得位置无关．
18．设就是平面上区域内任一点，，，得延长线交三边于，，．求证：在区域内，存在一个以得某两边为邻边得平行四边形．
19．设凸四边形得两组对边所在得直线，分别交于，两点，两对角线得交点为，过点作于．求证：． （2002国家集训队选拔试题）
20．在中，与均为锐角．就是边上得内点，且平分，过点作垂线于，于，与相交于．求证：．