数列的极限66690.pptx

第二节第二节 数列的极限数列的极限一、概念的引入一、概念的引入二、数列极限的概念二、数列极限的概念三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质四、数列收敛性的判别准则四、数列收敛性的判别准则 刘徽，魏晋时期山东人，出生在公元3世纪20 年代后期。是中国数学史上一个非常伟大的数学 家，在世界数学史上，也占有杰出的地位他的 杰作九章算术注和海岛算经，是我国最 宝贵的数学遗产。他是世界上最早提出十进小数 概念的 人，并用十进小数来表示无理数的立方根在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法在几何方面，提出了“割圆术”。他利用割圆术科学地求出了圆周率=3.14的结果。刘徽是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽治学态度严肃，为后世树立了楷模。在求园面积公式时，在当时计算工具很简陋的情况下，他开方即达12位有效数字。他在注释“方程”章节18题时，共用1500余字，反复消元运算达124次，无一差错，答案正确无误，即使作为今天大学代数课答卷亦无逊色。刘徽注“九章算术”时年仅30岁左右。北宋大观三年（1109）刘徽被封为淄乡男。“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列极限的概念二、数列极限的概念例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数思考：思考：当 时，有怎样的变化趋势？无限增大无限增大无限趋近无限趋近于于0左右摇摆左右摇摆无限趋近无限趋近于于1发散发散收敛收敛收敛数列极限的描述性定义：收敛数列极限的描述性定义：当当 无限增大无限增大时时,无限趋近无限趋近于某一确定的数值于某一确定的数值a。注意：注意：1.收敛数列是指无穷数列2.“无限增大无限增大”、“无限趋近”的含义需进一步精确化“趋近趋近”与与“无限趋近无限趋近”含义不同含义不同如何给出如何给出“无限趋近无限趋近”的定量描述的定量描述如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.收敛数列极限的理论定义：收敛数列极限的理论定义：注意：注意：但并不唯一但并不唯一几何解释几何解释:其中其中注意：注意：数列的敛散性与与其前面的有限项无关。数列的敛散性与与其前面的有限项无关。邻域邻域数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证1、唯一性、唯一性定理定理1 1 收敛数列的极限是唯一的收敛数列的极限是唯一的.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质思考：思考：证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.2、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理2 2 收敛数列必定有界收敛数列必定有界.证证由定义由定义,注意注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要条件必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.思考思考 有界数列是否一定收敛？试举例说明有界数列是否一定收敛？试举例说明3、四则运算性、四则运算性 若数列若数列 均收敛，则均收敛，则 也收敛且满足：也收敛且满足：思考：思考：1.若数列若数列 均发散，则均发散，则 是否一定发散？是否一定发散？2.若若 收敛，收敛，发散，试判断发散，试判断 的敛散性的敛散性可推广至可推广至有限有限个个例例4 4例例5 5例例6 6注注4、保号性、保号性若若且且时时,有有 与与 同号同号推论推论2.2.，1.1.若若时时,有有恒有恒有 ，则，则（1）若）若则则 有有（2）若）若夹逼准则夹逼准则数列收敛的判定准则数列收敛的判定准则给出数列的极限给出数列的极限例例7 7例例8 8例例9 9 证明证明定理定理2 2 单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛.四、数列收敛性的判别准则四、数列收敛性的判别准则用定义用定义必须知道数列的极限必须知道数列的极限夹逼准则夹逼准则对通项对通项适当适当放大、缩小放大、缩小四则运算性四则运算性利用已知数列的极限利用已知数列的极限单调有界准则单调有界准则易判断，常用，也可计易判断，常用，也可计算极限算极限例例10 10 证明下列数列收敛证明下列数列收敛1.3.2.类似地类似地,单调递增单调递增数列极限的归并原理数列极限的归并原理常用来判断数列常用来判断数列发散发散子数列（子列）子数列（子列）注意表示注意表示收敛收敛数列的数列的任何任何子列都收敛于子列都收敛于同一同一极限。极限。若一数列有两个子列收敛于若一数列有两个子列收敛于不同极限不同极限或是有一或是有一个个发散子列发散子列，则该数列，则该数列必发散。必发散。例：例：WeierstrassWeierstrass定理定理有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列聚点聚点定理定理CauchyCauchy收敛准则收敛准则用来证数列收敛（不需用来证数列收敛（不需要知道极限）、发散要知道极限）、发散CauchyCauchy数列（基本数列）数列（基本数列）例例11.证明下列数列收敛：证明下列数列收敛：数列收敛数列收敛 该数列为该数列为CauchyCauchy数列数列。例例12.证明下列数列发散：证明下列数列发散：小结小结数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、四则运算性、夹逼定理唯一性、有界性、保号性、四则运算性、夹逼定理数列收敛的判别准则数列收敛的判别准则:用定义（必须知道极限）用定义（必须知道极限）四则运算法则四则运算法则夹逼准则（证明收敛并给出极限）夹逼准则（证明收敛并给出极限）单调有界准则（证明收敛）单调有界准则（证明收敛）数列极限归并原理（通常证明发散）数列极限归并原理（通常证明发散）CauchyCauchy收敛准则（证明收敛、发散）收敛准则（证明收敛、发散）作业作业P39 7P39 7（2 2）（）（3 3）；）；10 10（1 1）（）（3 3）（）（5 5）（）（7 7）P39 10P39 10（8 8）（）（9 9）；）；11 11（1 1）（）（3 3）；）；1313；1414；1515