信号处理教程201124学时第3章.pptx

3.1 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换连续时间信号连续时间信号x(t)的傅里叶变换：的傅里叶变换：离散时间信号离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换(DTFT)：这里这里Ts=1；说明说明2：xn有一般意义下的有一般意义下的DTFT的充分条件是下的充分条件是下xn绝绝对可和，即：对可和，即：说明说明3：说明说明1：一般是复值函数；一般是复值函数；信号信号x(t)按抽样周期按抽样周期Ts进行抽样得到的抽样信号进行抽样得到的抽样信号xs(t)=x(t)Ts(t)的的连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换(CTFT)为：为：从另从另个角度看，由于：个角度看，由于：DTFT的由来的由来以上两式是以上两式是致的，只是表现形式不同而已。致的，只是表现形式不同而已。但对于离散时间信号而言，后式更为直观。但对于离散时间信号而言，后式更为直观。直接按后式定义序列直接按后式定义序列x(nTs)的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：逆变换为：逆变换为：为了区别起见，称上述定义的序列的傅里叶变换为为了区别起见，称上述定义的序列的傅里叶变换为离离散时间傅里叶变换散时间傅里叶变换(Discrete-Time Fourier Transform，DTFT)。上述给出的上述给出的DTFT和前面介绍的抽样信号的和前面介绍的抽样信号的FT是一致是一致的。虽然后式定义的的。虽然后式定义的DTFT形式较好，但是由于采样形式较好，但是由于采样周期周期Ts没有没有“归一化归一化”，因此分析起来不那么方便。，因此分析起来不那么方便。如果对抽样周期如果对抽样周期Ts进行归一化处理，归一化为进行归一化处理，归一化为1，则则 s将被对应为将被对应为2，此时序列的，此时序列的DTFT以及相应以及相应的逆变换就是的逆变换就是：x(n)与与XD()称一对称一对离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)对对，简，简记为：记为：符号符号XD()中的下标中的下标D表示离散之意，是为了在定表示离散之意，是为了在定义式中与连续时间傅里叶包含的频谱相区别。义式中与连续时间傅里叶包含的频谱相区别。角频率域角频率域 称称XD()为为(DTFT)频谱频谱(密度函数密度函数)，包括，包括(DTFT)幅幅度度(频频)谱谱(函数函数)XD()和和(DTFT)相位相位(频频)谱谱(函函数数)arg(XD()两种表示形式。两种表示形式。如果考虑如果考虑赫兹频率域赫兹频率域，DTFT变换对可以表示为变换对可以表示为:若对抽样周期进行归一化处理，把若对抽样周期进行归一化处理，把Ts归一化为归一化为1，则，则fs为为1Hz，此时此时DTFT及其逆变换为及其逆变换为:赫兹频率域赫兹频率域 fDTFT的直角坐标形式和极坐标形式的直角坐标形式和极坐标形式DTFT的直角坐标形式：的直角坐标形式：其中：其中：DTFT的极坐标形式：的极坐标形式：若若xn是实值的，则有：是实值的，则有：即：幅值函数为偶函数即：幅值函数为偶函数即：角度函数为奇函数即：角度函数为奇函数DTFT的直角坐标与极坐标关系：的直角坐标与极坐标关系：偶对称或奇对称信号偶对称或奇对称信号若：若：xn是是n的偶函数，即：的偶函数，即：n1的整数，的整数，x-n=xn,则：则：若：若：xn是是n的奇函数，即：的奇函数，即：n1的整数，的整数，x-n=-xn,则：则：例例 矩形脉冲矩形脉冲pn的的DTFT。离散时间信号的频谱离散时间信号的频谱离散时间信号对应连续、周期谱离散时间信号对应连续、周期谱例：分析例：分析xn的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性DTFT反变换反变换若：信号若：信号xn及及则则广义广义DTFT例：例：xn=1 的的DTFT及及IDTFT。说明：说明：在需要明确区别时，把序列的傅里叶变换的正在需要明确区别时，把序列的傅里叶变换的正逆变换分别记为逆变换分别记为DTFT 和和DTFT 1。DTFT和和CTFT的不同在于，前者是对的不同在于，前者是对序列序列定义定义的，后者是对的，后者是对连续函数连续函数(包括未作采样周期归包括未作采样周期归一化处理的序列一化处理的序列)定义的。定义的。结论结论1：序列的：序列的DTFT频谱是周期的频谱是周期的,周期为周期为2 rad,或或1Hz。结论结论2：序列的：序列的DTFT频谱的有效部分是频谱的有效部分是 rad或或 0.50.5Hz。结论结论3：序列的最高频率：序列的最高频率(截止频率截止频率)对应了对应了DTFT频谱中的频谱中的 rad或或0.5Hz。DTFT的性质的性质 周期性：周期性：线性性：线性性：平移性：平移性：共轭与共轭对称性共轭与共轭对称性：时域扩展：时域扩展：时域差分与累加：时域差分与累加：频域微分频域微分(时域线性加权时域线性加权)：卷积定理卷积定理：例例：求单位冲激序列：求单位冲激序列(n)的的DTFT：例例：求矩形脉冲序列：求矩形脉冲序列GN(n)的的DTFT：例例：求余弦序列的：求余弦序列的cos 0n的的DTFT。解：先求指数序列的解：先求指数序列的DTFT：xn=1 的的DTFT例例：求图中的周期矩形脉冲序列：求图中的周期矩形脉冲序列H1(ej)的逆的逆DTFT。例例：求图中的周期矩形脉冲序列：求图中的周期矩形脉冲序列H2(ej)和和H3(ej)的逆的逆DTFT。解：显然图中的矩形脉冲可以看成是上例中解：显然图中的矩形脉冲可以看成是上例中H1(ej)的的频移，即频移，即H2(ej)=H1(ej()它与它与h1(n)是隔点反号。是隔点反号。3.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT连续时间信号连续时间信号x(t)的傅里叶变换：的傅里叶变换：离散时间信号离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换(DTFT)：自变量离散化；自变量离散化；解决办法：解决办法：说明：说明：是是连续变量连续变量的函数，即计算机上无法实现；的函数，即计算机上无法实现；离散时间信号离散时间信号x(n)的离散傅里叶变换的离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)：傅里叶级数、变换中的时域与频域关系傅里叶级数、变换中的时域与频域关系 时域 -频域 周期信号周期信号 离散谱离散谱 非周期信号非周期信号 连续谱连续谱 离散信号离散信号 周期谱周期谱离散非周期信号离散非周期信号 周期连续谱周期连续谱 离散周期信号离散周期信号 离散周期谱离散周期谱非周期信号的离散周期化方法非周期信号的离散周期化方法DFT及其反变换及其反变换的定义的定义正变换正变换(Discrete Fourier Transform，DFT)：反变换反变换(Inverse DFT,IDFT)：旋转因子：旋转因子：旋转矢量随旋转矢量随k或或n的递增而向负方向旋转的递增而向负方向旋转。旋转矢量：旋转矢量：DFT中中N、n和和k关系：关系：N：输入序列：输入序列xn的样点数，的样点数，也是也是DFT输出的频率点数，输出的频率点数，即即X(k)的个数的个数。n：输入序列：输入序列xn的样点序的样点序号。号。k：输出频谱：输出频谱Xk的序号。的序号。n、k：0(N-1),并以并以N为为周期循环。周期循环。旋转矢量的基本性质是它的旋转矢量的基本性质是它的周期性周期性和和对称性对称性第六次课完第六次课完DFT的对称性的对称性DFT变换：变换：N-k代替代替k，得，得当当N是偶数时，幅值是关于是偶数时，幅值是关于k=N/2对称，角度关于对称，角度关于k=N/2奇对称奇对称DFT的性质的性质线性叠加：线性叠加：频移定理：频移定理：时移定理：时移定理：帕塞伐尔定理：帕塞伐尔定理：时间延迟等价于相位延迟时间延迟等价于相位延迟频域延迟等价于时域频率的提高频域延迟等价于时域频率的提高循环卷积：循环卷积：对称性：对称性：)()(2mkXWnxenxmnNnNmj-=-pDFT 形式形式极坐标形式极坐标形式直角坐标形式直角坐标形式DFT与与DTFT关系关系DTFT变换：变换：DFT变换：变换：DTFT与与DFT变换：变换：即即DFT Xk可以看成是可以看成是DTFTx(n)的频率抽样的频率抽样3.3 截短信号的截短信号的DFT截短信号截短信号整数整数N 经常称为记录长度。经常称为记录长度。例例：离散时间信号：离散时间信号xn=(0.9)nun,n0 的的DTFT、DFT及及截短信号的截短信号的DFT对比。对比。DTFTDFTDFT完整完整xn信号信号截短截短xn信号信号3.4 FFT算法算法DFT正逆变换运算量分析：正逆变换运算量分析：对于每个对于每个k，由，由xn计算计算DFT 需要需要N次复数乘法，次复数乘法，k=0,1,N-1 需要需要N2次复数乘法次复数乘法1次复数乘法需要次复数乘法需要4次实数乘法来完成；次实数乘法来完成；FFT：Fast Fourier Transform1965 J.W.Cooley(库利库利)和和J.W.Tukey(图基图基)在在计算数学计算数学发表了发表了“机器计算傅里叶级数的一种算法机器计算傅里叶级数的一种算法”；FFT不是一种新的变换，而是不是一种新的变换，而是DFT的一种快速算法的一种快速算法!FFT分类分类时间抽取算法时间抽取算法(Decimation-in-Time)：xn表现为表现为“无序无序”，X(k)有序有序频率抽取算法频率抽取算法(Decimation-in-Frequency)：xn表表现为现为“有序有序”，X(k)无序无序WN的定义及性质的定义及性质WN 旋转因子定义：旋转因子定义：WN 性质：性质：时间抽取时间抽取(Decimation-in-Time,DIT)FFT算法算法an=x2n bn=x2n+1将将N点的序列分为两个点的序列分为两个N/2点的序列点的序列将将N点点DFT分为两个分为两个N/2点点DFTN一般要为一般要为2的的m次幂，即次幂，即令令A Ak k和和B Bk k分别代表分别代表anan和和bnbn的的DFT，即，即对于对于k k属于属于(0N/2-1)部分的部分的X Xk k，有，有对于对于k k属于属于(N/2N-1)部分的部分的X Xk k，有，有11-1 这样，只要计算出这样，只要计算出(0,N/2-1)(0,N/2-1)区间的区间的A(k)A(k)和和B(k)B(k)，也就可以很，也就可以很方便地计算整个方便地计算整个(0,N-1)(0,N-1)区间的全部区间的全部X(k),X(k),从而大大地节省了从而大大地节省了运算量。运算量。FFT复杂度分析复杂度分析N N点的点的DFTDFT可以表达为：可以表达为：根据程序设计的特点，计算根据程序设计的特点，计算DFTDFT需要：需要：N*N=NN*N=N2 2次复数乘法；次复数乘法；N*N=NN*N=N2 2次复数加法。次复数加法。DFTDFT计算算法复杂度是计算算法复杂度是O(NO(N2 2)。FFTFFT算法复杂度为算法复杂度为O(NlogO(Nlog2 2N)N)；N N点的点的FFTFFT可以表达为：可以表达为：计算计算A(k)A(k)、B(k)B(k)的的DFTDFT分别需要分别需要(N/2)(N/2)2 2=N=N2 2/4/4次乘次乘法法计算计算W Wk kN NB(k)B(k)需要需要N/2N/2次乘法次乘法总的乘法次数为总的乘法次数为N N2 2/2+N/2/2+N/2N N点的点的FFTFFT计算量分析：计算量分析：N N点的点的FFTFFT计算量比计算量比DFTDFT计算量少：计算量少：DFT与与FFT计算量对比举例计算量对比举例W80W40000100010110001101011111000001010011100101110111位倒序！蝶形算法！W40式(1)按矩阵展开按矩阵展开X1X1得得式(2)频率抽取频率抽取(Decimation-in-Frenquncy,DIF)FFT算法算法 x1n=xn x2n=xn+N/2 n=0，1，N/2-1将将N点的序列分为两个点的序列分为两个N/2点的序列点的序列DITDIT输入是混序的，频域的输出是顺序的输入是混序的，频域的输出是顺序的 DIFDIF输入是顺序的，频域的输出是混序的输入是顺序的，频域的输出是混序的DITDIT的复数乘法出现在加减之前的复数乘法出现在加减之前 DIFDIF的复数乘法出现在加减之后的复数乘法出现在加减之后 作业作业1.计算以下信号的计算以下信号的DTFT,并画出并画出X(w)2.P161,4.4,4.5第七次课完第七次课完第第3章章 结束结束