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报告厅座位设计模型
一、问题的提出
本文针对报告厅座位设计问题建立了数学模型，怎样使观众能够舒服地观看听报告，从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。
已知报告厅座位的满意度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上，下边视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，过大使人的头部过分上仰，引起不舒服，因而一般要求不超过。通过分析求下列问题：
(1)在已知地板线倾角，求最佳座位的所在位置。
(2)已知范围不超过，为使所有观众的平均满意程度最大，求地板线倾角。
(3)为进一步提高观众的满意程度，地板线应设计成什么形状。
二、问题的分析
每一个到报告厅的观众都想坐在最佳位置，座位的满意程度主要取决于水平视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使学生对两者的综合满意程度达到最大。
针对这个问题，本文通过主观判断分别对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，这可利用4数学软件求函数极值的方法来求解；针对问题二，可将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数的平均值的最大值。对此仍然可以利用问题一所建立的满意度函数，只是将自变量转化为地板线倾角；针对问题三，即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文是在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为了使模型简化，以便更好地说明问题，文中将作以下假设。

三、模型的假设
1． 观众对座位的水平视角的满意程度呈线性。
2． 观众对座位的仰角的满意程度呈线性的。
3． 忽略因视力或其他方面原因影响观众的满意度。
4． 最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘。
5． 相邻两排座位间的间距取为0.8。
6． 对于同一排座位，观众对其满意程度相同。
四、符号说明
水平视角
仰角
地板线倾角
第一排离屏幕水平距离
屏幕高度
观众对水平视角为的满意程度
观众对仰角为的满意程度
对水平视角所取的权重
对仰角所取的权重
平均满意程度
五、模型的建立与求解

1． 问题一
(1)模型的建立
以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系,如图1所示：

图1
其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。
设上任意一点的坐标为，其中=OP为过点作的垂线，垂足为，根据题意可知，其中，，，，
,。则有：
(1)
(2)
由公式转化可得到：
(3)
分别将（1）式和（2）式代入（3）式，可得到：
(4)
根据题意，在假设条件下，对于第排座位，本文建立观众对视角、仰角的满意度函数如下：
，
，
其中，分别表示在给定的情况下，能取得的最小值，最大值(在不影响结果或对结果影响不大的情况下，值可取为0)，分别表示第排座位所对应的视角和仰角。
视角、仰角在综合满意度中的权重分别为，建立第排座位综合满意度函数如下：
(5)
(2)模型的求解
根据已知地板线倾角，通过计算可以得出5.4210315.8975，
4.0439640.9144，，本文主观给定，为了简化计算取，根据模型的建立，可以得出：
= (6)
又 (7)
要求的最大值，将(7)式代入到(6)式中，通过数学软件求解得：
=0.657187,此时，进而求得，。
此时，=2.27,点的坐标为：(2.235,0.394)，即所求最佳座位离屏幕的水平距离为。
2. 问题二
(1)模型的建立
建立如图1所示的直角坐标系，则可知：

在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线上的前后间距为，则可知第排座位所对应的仰角的正切值：
(8)
其中。
从问题一的模型建立中可知：
则可推出第排座位所对应的水平视角的正切值：
(9)
可算出地板线上的座位的总排数为：.
为了能更好的解决问题，本文先给出如下定义：
定义1：同问题一可建立如下满意度函数：

其中：，。
表示观众对水平视角为的满意程度；
表示观众对水平视角为的满意程度。
定义２：观众平均满意程度函数为：

要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求的最大值

。
(2)模型的求解
通过查阅资料，一般取0.8，14.5为最后一排离第一排的水平距离,
则
又因为，则可确定
由模型的建立中可以得出：
(10)
将(8)式和(9)式分别代入到(10)中,然后利用4数学软件计算可得到关于的图像，如图2所示：

图2
从上图可以看出随着的增加而单调递增，则可算出：
当时，.

3． 问题三
模型的建立与求解：
假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为，第排座位地板线倾角为，第排座位与第排座位地板线倾角变化为。从而可得：，故：
=，
同理：

根据问题二模型的建立，确定观众平均满意程度函数同定义2。可算出地板线上的座位的总排数为：，则可计算得当时，。但此时，根据一般习惯，要求地板线倾角，但此时求得最后一排座位的地板线倾角为，这大大超过观众的心理范围，因此文中将对此进一步的修改。当时，令。当时，即将问题转化为问题二中所建立的模型。由于，则地板线倾角增加到第8排到达然后保持不变。
对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用4数学软件求得：满意度
函数的最大值。
可以通过利用4数学软件来描点，如图3所示：

图3
从上图可以看出,报告厅座位的前8排呈折线状,以递增,当倾角增加到时保持不变。
六、模型的检验
在模型的建立中，我们对满意度进行量化，建立了线性型满意度函数。可结合实际，通过数理统计来确定大多数人喜欢坐的位置，并可通过查询资料来找到一般报告厅的地板线倾角的度数和大多数报告厅的地板设计情况。
七、模型的评价
优点：
1. 我们所建立的模型成功地解决了报告厅座位设计问题，使观众对座位的平均满意程度达到最大。
2. 我们所建立的模型贯穿全文，可用来解了这样的三个问题。
3. 依据所建立的模型，我们给出了一种地板线的设计方案，使观众得的平均满意度进
一步提高。
不足之处：
1．为了方便计算而对数据进行了粗略计算，虽然结果在误差范围之内，但这仍对结果造成了影响,这是有待改进的地方。
2．在模型的建立过程中，为了达到观众对水平视角的满意度和对仰角的满意度，而忽略了地板线倾角带来的影响。
3．在模型的建立过程中，本文是主观给视角和仰角的权值,应该找一种客观取权值的方法.
八、模型的推广
我们所建立的模型成功地解决了报告厅座位设计问题，使观众对座位的平均满意程度达到最大。针对报告厅座位设计问题，我们所建立的线性型满意度函数，不仅可以用来衡量观众对座位的满意程度，而且可以用于工厂对所生产的零件的满意度，以及一些其它相关的满意程度问题，而文中所提供的设计方案还可用于大型场合的座位安排与设计，如体育场等。

九、参考文献
[1] 金伟东，线形型满意度及组合运算，铁道学报，第9卷，第5期 1997
[2] 姜启源，数学建模，高教出版社，2003