微分算子法实用整理总结说课材料.doc

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微分算子法
微分算子法分类小结
一、 n阶微分方程
1、二阶微分方程： +p(x)+q(x)y=f(x)
2、n阶微分方程： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(x)
二、 微分算子法
1、定义符号：，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x 求导n次；表示积分，如x=2 , x表示 对x 积分n次，不要常数。
2、计算
将n阶微分方程改写成下式：
Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ ... +an-1Dy+any=f(x)
即 （Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an）y=f(x)
记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an
规定特解：y*=
3、的性质
(1)性质一：ekx =ekx (F(k) 不等于0）
注：若k为特征方程的m重根时，有
ekx = xmekx = xmekx
(2)性质二：ekx v(x)= ekxv(x)

(3)性质三：特解形如sin(ax)和 cos(ax)
i.考察该式（该种形式万能解法）：eiax
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解
注：欧拉公式 eiax= cos(ax)+isin(ax)
虚数 i2 = -1
ii.若特解形如sin(ax)和cos(ax)，也 可按以下方法考虑：
若F(-a2) 0，则
sin(ax)=sin(ax)
cos(ax)=cos(ax)
若F(-a2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a2) 的m重根，则
sin(ax)=xmsin(ax)
cos(ax)=xmcos(ax)

(4)性质四（多项式）：
（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
= Q(D)（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p 。

(5) 性质五（分解因式）:
==
(6) 性质六:
=

三、例题练习
例1. +4y=ex
则(D2+4)y=ex ,特解y*=ex=ex=ex (性质一)
例2、 y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y= 2cos(3x）
特解y*=2cos(3x）= 2cos(3x）
= 2cos(3x）=cos(3x）(性质三)
例3、-4+4y= x2e2x ,则(D2-4D+4)y= x2e2x
特解y*=x2e2x = e2xx2
= e2xx2 = x4e2x （性质二）
例4、-3+3- y=ex ,则(D3-3D2+3D-1)y=ex
特解y*=ex =ex1
=ex1=x3ex (性质二）
例5、-y=sinx ,则(D3-1)y=sinx ,特解y*=sinx
考察eix
eix= eix=eix=eix
=(cosx+isinx)
=-(cosx+sinx)+i(cosx-sinx)
取虚部为特解y*=(cosx-sinx) (性质一、三)

例6、+y=cosx ，则(D2+1)y=cosx ，特解y*=cosx
考察eix
eix= eix=eix
=eix=eix1
=-xeix=xsinx-ixcosx
取实部为特解y*=xsinx (性质一、二、三）
例7、-y=ex ，则(D4-1)y= ex
特解y*=ex=ex
= ex
= ex =ex
=ex 1=xex （性质一、二、五）
例8、 +y=x2-x+2 , 则(D2+1)y= x2-x+2
特解y*=(x2-x+2)
=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x (性质四)

例9、+2+2y=x2e-x ,则(D2+2D+2)y=x2e-x
特解y*=x2ex=e-xx2
=e-xx2=e-x(1-D2)x2=e-x(x2-2)
（性质二、四）
例10、+y=xcosx ，则(D2+1)y=xcosx ，
特解y*=xcosx ，考察xeix
xeix=xeix=eixx
=eixx=eixx
=eixx =eixx
=(cosx+isinx)x
=(xcosx+x2sinx)+i(xsinx-x2cosx)
取实部为特解y*=(xcosx+x2sinx) (性质二、三、四）

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