上海教材-集合与命题课件.ppt

第一章 集合与命题(Sets and Propositions)1.1 集合及其表示法(Sets and Their Expressions)要点解析:一.什么是集合？1.我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合,简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素。对于一个给定的集合，其中的元素是确定的，也是各不相同的，而且个元素的地位相等，与顺序无关。2.我们把含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集。为了研究的需要,我们把不含有任何元素的集合叫做空集.3.如果a是集合A的元素,就记作 如果a不是集合A的元素,就记作数的集合简称数集，常用的数集有，以上四个数集又可按正负分为正整数集，负整数集，正有理数集，负有理数集，正实数集和负实数集。二.集合的表示方法有哪些？列举法 描述法 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内的表示集合的方法。如：描述法：在大括号中先写出此集合的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素的公共属性。例：例1 用适当的方法表示下列集合：（1）30的所有正因数组成的集合A；（2）被5除余3的自然数全体组成的集合B；（3）二次函数 的图象上的所有点组成的集合C.解：（1）用列举法表示：（2）用描述法表示：（3）用描述法表示：变式训练:1.用描述法表示下列集合:(1)(2)(3)思路提炼:解此类题目关键要找出集合内元素的规律,即公共属性,再用合适的数学语言来把这样的规律描述出来。2.用列举法表示下列集合:(1)(2)(3)(4)思路提炼:解此类问题首先要看清竖线前面的描述的对象,到底是数集还是点集,具有这样的意义。什么是数集,什么是点集?顾名思义,数集即是一组数组成的集合,而点集就是一连串的点或一个函数图象上定义域上所有的点组成的集合一道题目拿到手,认清它是数集还是点集是解题的关键,数集一般在竖线前直接用字母表示;而点集一定是在字母外加括号的,例如(X,Y)例2 A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，试证明：（1）任意奇数都是A的元素；（2）偶数4k-2 不属于A.例3 若集合A是二次方程 中至多有一个元素,求实数a的取值范围。思路提炼：在做题过程中，碰到至多，至少类似这样的词时，要特别留心了，因为它预示着这样的题目我们要分类讨论；并且若一个二次方程二次项系数是带字母的话，那么我们也要特别当心，看看它为0的话是否满足题意。思考：1.集合中的元素有什么特性?2.用列举法和描述法表示集合有什么区别?各有什么优势和不足?3.集合1,2和集合(1,2)有什么区别?4.区分 这四个符号的含义.1.2 集合之间的关系(Relations of Sets)考察下列集合:A=1,2,B=1,2,3,4,D=X|X是四边形E=X|X是多边形容易发现,集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,集合D中的任何一个元素都是集合E中的元素,而集合B中的元素3和4不是集合A的元素,集合C中的元素与集合A的元素完全相同。一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A是集合B的子集，记作 或我们规定，空集包含与任何集合即空集是任何集合的子集。问：如何证明两个集合相等？集合 与集合 具有怎样的关系？答：对于两个集合A与B，如果 且 那么就叫做集合A与集合B相等。对于两个集合A与B如果 并且B中至少有一个元素不属于A，那么称集合A是集合B的真子集。记作 或例1：写出集合a,b,c的所有子集和真子集。例2：设集合 A=B，求实数a,b的值。例3：已知 求证：S=T.思考:1.符号 与 的意义和区别是什么?2.集合之间的关系与实数中的大小关系,相等关系有什么相似之处吗?3.如果 ,那么集合A与B的关系有几种?1.3 集合的运算(Operation of Sets)交集交集：A AB=x|xAB=x|xA且且xBxB 并集并集：AB=x|xAAB=x|xA或或xBxB 例例1.1.设集合设集合A=(x,y)|x+2y=3A=(x,y)|x+2y=3 B=(x,y)|2x+y=3 B=(x,y)|2x+y=3 则则A AB=()B=()A.(1,1)B.1 A.(1,1)B.1 C.1,1 D.(1,1)C.1,1 D.(1,1)D例例2 2 设设A=x|2xmA=x|2xm，B=x|xB=x|x2 2-13x+40-13x+4000 求：求：ABAB解：解：由由B=x|x2-13x+40B=x|x2-13x+4000 得得:B=x|5x8:B=x|5x8当当2m52m5时，时，AB=x|2m5AB=x|2m5或或5x85x85m85m8时时,AB=x|2x8,AB=x|2x8 8m 8m 时时,AB=x|2xm,AB=x|2xBA=B且且B B推不出推不出A A，则，则A A是是B B的充分非必要条件的充分非必要条件2.2.若若A A推不出推不出B B且且B=AB=A，则，则A A是是B B的必要非充分条件的必要非充分条件3.3.若若A=BA=B且且B=AB=A，则，则A A是是B B的充要条件的充要条件4.4.若若A A推不出推不出B B且且B B推不出推不出A A，则，则A A既不是既不是B B的充分条的充分条件，也不是件，也不是B B的必要条件的必要条件.思考:已知p是r的充分非必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题:(1)r是q的充要条件;(2)P是q的充分非必要条件;(3)R是q的必要非充分条件;(4)R是s的充分非必要条件;上述哪些命题是真命题?1.在写某条件的充分或充要条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.注意事项:2.搞清A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系；A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系是非常重要的,否则容易在这一点上出现错误.知识拓展容斥原理及其应用容斥原理：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目减去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数方法成为容斥原理。对与有限的集合P，我们用n（P）表示P中的元素个数。容斥原理一：如果计数的事物有A,B两类，那么，A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数。即：容斥原理二：如果被计数的事物有A，B，C三类，那么：例：对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛，看电影和听音乐的情况。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问：有多少人只喜欢听音乐？反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫作反证法。用反证法证明的一般步骤有：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反证法的证明思路：（1）反设（即假设）：对于p则q（原命题）进行反设，即p则非q。（2）可能出现三种情况：导出非p为真与题设矛盾。导出q为真与反设中“非q”矛盾。导出一个恒假命题与某公理或定理矛盾例：用反证法证明：如果 那么谢谢,再见!