协方差相关系数.pptx

一、协方差二、相关系数 4.3 4.3 协方差及相关系数协方差及相关系数上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、协方差定定义义1 1：称数值EX-E(X)Y-E(Y)为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y)(Covariance)或xy，即：xyCov(X,Y)EX-E(X)Y-E(Y)(1)说明：说明：1)由定义1，若(X,Y)是离散型的，则 若(X,Y)是连续型的，则 2)由方差的定义知D(X)=xx，D(Y)=yy 上页下页铃结束返回首页3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=xx+yy+2xy (4)4)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(5)且由方差的性质3知：当X,Y相互独立时，xy0，但反之不一定。反例：反例：设(X,Y)的联合密度是f(x,y)=，x2+y210 ，其它 求：XX，XY，YYxyCov(X,Y)EX-E(X)Y-E(Y)(1)上页下页铃结束返回首页反例：反例：设(X,Y)的联合密度是解：解：E(X)=E(Y)=0 XX=YY=1/4 ，XY0 故X与Y不相互独立可见XY0是随机变量X与Y独立的必要条件而非充分条件.f(x,y)=，x2+y210 ，其它 xyCov(X,Y)EX-E(X)Y-E(Y)(1)上页下页铃结束返回首页 注注:对二维正态向量而言，XY0是X,Y相互独立的充要条件。3.4例2曾证明X,Y独立的充要条件是0，以下例题将证明0与XY0等价。例例1 1 设(X,Y)N(1，2，12，22，)，求XY。解：解：E(X)=1，E(Y)=2，XX=12，YY=22上页下页铃结束返回首页 例例1 1 设(X,Y)N(1，2，12，22，)，求XY。上页下页铃结束返回首页二、协方差的性质1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常数 3.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)4.,等号成立当且仅当存在常数a和b，使 成立三、相关系数定义定义2 2 为随机变量X,Y的相关系数(分母不为零)，有时简记 显然，对二维正态分布N(1，2，12，22，)而言，其相关系数为.上页下页铃结束返回首页 xy的含义：以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度，e越小表示a+bX与Y的近似程度越好，因此，我们取a,b使e取到最小 定义定义2 2 上页下页铃结束返回首页解得 由(8)易得 定理定理 1)|xy|1 2)|xy|=1的充要条件是：存在常数a,b使PY=a+bX=1 上页下页铃结束返回首页 相关系数xy的含义：xy是一个可以用来衡量X,Y之间线性关系紧密程度的量，当|xy|较大时，X,Y就线性关系而言联系较紧密，我们称X,Y线性相关的程度较好，当|xy|=1时，X,Y 之间以概率1存在着线性关系，当xy 0时，称X和Y不相关。说明：说明：1)当X,Y相互独立时，0，但反之却不一定，只有在二维正态向量中X,Y相互独立 X,Y不相关(0)2)是表征X,Y的线性关系的，很小并不说明X,Y之间没有关系，如若XN(0,1)，Y=X2，则xy0，但Y是X的二次曲线上页下页铃结束返回首页 例1中设(X,Y)N(1，2，12，22，)，则有 这说明二维正态随机变量(X,Y)的概率密度的参数就是X和Y的相关系数，因而二维正态随机变量的分布完全由X和Y的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定 对于二维正态随机变量(X,Y)，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的上页下页铃结束返回首页例2 将一枚均匀的硬币掷n次，以X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，试求X和Y的协方差和相关系数解 由题意可知，X和Y的相关系数 相关系数等于1，这是因为 总是成立 上页下页铃结束返回首页 例例3 3 对于(X,Y)，已知D(X)=D(Y)=1，xy1/2，求D(X2Y)解：解：四、矩 定定义义3 3 设X是随机变量，若E(Xk)，k=1,2,存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩上页下页铃结束返回首页 若EX-E(X)k ,k=1,2,存在，称它为X的k阶中心矩 若E(XkYl),k,l=1,2,存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩。若EX-E(X)kY-E(Y)l存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩 由以上定义知E(X)是X的一阶原点矩，D(X)是X的二阶中心矩，Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。定定义义3 3 设X是随机变量，若E(Xk)，k=1,2,存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩上页下页铃结束返回首页*性质：性质：1）n维随机变量（X1，X2，Xn）服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，Xn的任意的线性组合l1X1+l2X2+lnXn都服从一维正态分布。2）若（X1，X2，Xn）服从n维正态分布，设Y1,Y2,Yk,(k=1,2,n)是X1，X2，Xn的线性函数，则（Y1,Y2,Yk）也服从多维正态分布。3）设（X1，X2，Xn）服从n维正态分布，则 X1，X2，Xn相互独立与X1，X2，Xn两两不相关是等价的。