关于q差分的Tropical值分布的一些结果.pdf

收稿日期:.基金项目:国家自然科学基金项目();江西省自然科学基金项目(A CB ).作者简介:薛培智(),男,硕士生.通信作者:曹廷彬(),男,教授,博士,博士生导师.E m a i l:t b c a o n c u e d u c n.薛培智,曹廷彬关于q差分的T r o p i c a l值分布的一些结果J南昌大学学报(理科版),():X U EPZ,C AOTBS o m e r e s u l t s o n t r o p i c a l v a l u ed i s t r i b u t i o n t h e o r y f o rq d i f f e r e n c e o p e r a t o rJJ o u r n a l o fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),():关于q差分的T r o p i c a l值分布的一些结果薛培智,曹廷彬(南昌大学数学系,江西 南昌 )摘要:C l u n i e引理和M o h o nk o引理是经典的亚纯函数值分布理论的重要定理,并且有着广泛的应用.近年来t r o p i c a l值分布理论得到初步的建立和发展,其中t r o p i c a l差分多项式的C l u n i e引理和M o h o nk o引理得到了相应的证明.文章的主要目的是通过t r o p i c a lq差分的对数导数引理证明了t r o p i c a lq差分多项式的C l u n i e引理和M o h o nk o引理.同时文章还给出了t r o p i c a lq差分的H a y m a n定理.关键词:t r o p i c a l亚纯函数;C l u n i e引理;M o h o nk o引理;H a y m a n定理中图分类号:O ;O 文献标志码:A文章编号:()S o m e r e s u l t so nt r o p i c a l v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yf o rq d i f f e r e n c eo p e r a t o rXU EP e i z h i,C AOT i n g b i n(D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c so fN a n c h a n gU n i v e r s i t y,N a n c h a n gJ i a n g x i,C h i n a)A b s t r a c t:C l u n i e l e mm aa n dM o h o n k o l e mm ap l a ya n i m p o r t a n t r o l e i nc l a s s i c a lv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dh a v eaw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n s I nr e c e n ty e a r s,t h e t r o p i c a l d i s t r i b u t i o nt h e o r yw a s i n i t i a l l ye s t a b l i s h e da n dd e v e l o p e d,w i t hc o r r e s p o n d i n gp r o o f f o r t h eC l u n i e a n dM o h o n k o l e mm ao f t r o p i c a l d i f f e r e n c ep o l y n o m i a l b e i n g o b t a i n e d T h em a i np u r p o s eo f t h i sp a p e rw a s t op r o v et h eC l u n i e a n dM o h o n k o l e mm a f o r t r o p i c a lq d i f f e r e n c ep o l y n o m i a l sb yu s i n g t h e t r o p i c a lq d i f f e r e n c e a n a l o g u eo f l e mm ao n l o g a r i t h m i cd e r i v a t i v e I na d d i t i o n,t h e t r o p i c a lq d i f f e r e n c ea n a l o g u eo fH a y m a nt h e o r e m w a sg i v e n K e yW o r d s:t r o p i c a lm e r o m o r p h i c f u n c t i o n;C l u n i e l e mm a;M o h o nk o l e mm a;H a y m a n l e mm a“T r o p i c a l”这个词最早是出现在计算机科学领域中,近年来t r o p i c a l在数学中的应用得到了广泛的关注和推广,涉及的学科有组合学,代数几何以及最优化等等.T r o p i c a l的代数结构为半环结构,这里记为(,),其中t r o p i c a l加法定义为:xym a x(x,y)以及t r o p i c a l乘法定义为:xyxy根据定义可知t r o p i c a l加法单位元为以及t r o p i c a l乘法单位元为.T r o p i c a l运算的另外两种记号分别为:x苓yxy以及xaa x,其中a.在t r o p i c a l的代数结构的基础上,回顾t r o p i c a l整函数的定义为:f:是一个关于t r o p i c a l单项式的有限或无限的线性组合,即:f(x):kckxskm a xkskxck其中c,c,和s,s,都是实数.其中t r o p i c a l单项式的有限线性组合P:称为t r o p i c a l多项式.一个连续分段线性函数f:称为是t r o p i c a l亚纯函数,若x是f(x)的导函数的不连续点,即:f(x)l i mf(x)f(x)如果f(x),那么称x是f(x)的根,重数为f(x);如果f(x),那么称x是f(x)的极点,重数为f(x).T r o p i c a l值分布理论描述的是关于一个实变量的连续分段线性函数的值分布,这里函数在每个点的左右导数为实数,和一般的亚纯函数的值分布理第 卷第期 年 月南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l N o O c t 论类似.年,由R G H a l b u r d和NJ S o u t h a l l首先给出了t r o p i c a l亚纯函数的值分布理论,他们给出了t r o p i c a l版本的N e v a n l i n n a函 数,其 中t r o p i c a l均值函数定义为:m(r,f(x)(f(r)f(r)T r o p i c a l计数函数定义为:N(r,f(x)|b|rf(b)(r|b|)其中b是f(x)在区间(r,r)中的极点,f(b)是指b这个极点的重数.T r o p i c a l特征函数与经典的特征函数的定义相同,定义为:T(r,f(x)m(r,f(x)N(r,f(x)对于t r o p i c a l亚纯函数,它的级定义为:(f):l i mrs u pl o gT(r,f)l o gr在 中他们给出了t r o p i c a l J e n s e n公式:N(r,f)N(r,f)f()f(r)f(r)假设L:i n ff(b),其中b取遍f(x)的所有极点,则对于aL,有t r o p i c a l第一基本定理:T(r,苓(fa)T(r,f)O()()下面我们回顾对数测度的定义:给定一个集合E,它和r的正半轴有重合的部分,那么它的对数测度l mE为:l mE:Erdr我们把集合E在区间,r)的部分记为E(r),同时定义上界对数测度l o g d e n s eE以及下界对数测度l o g d e n s eE为:l o g d e n s eE l i ms u prl mEl o grl o g d e n s eE l i mi n frl mEl o gr如果l o g d e n s eEl o g d e n s eE_,那么称E的对数测度为.在 年,I L a i n e和C C Y a n g 通过对数导数引理证明了t r o p i c a l版本的C l u n i e和M o h o nk o引理.他们讨论了形如p(x,f)a(x)f(x)的t r o p i c a l差分多项式,其中(,m)是一个非负整数的多重指标,是关于的集合,并且f(x)f(x)f(xc)mf(xcm)在 年,D CB a r n e t t和R G H a l b u r d等人利用经典亚纯函数的q差分对数导数引理证明了关于q差分多项式的C l u n i e引理和M o h o nk o引理.主要结果受文献 的启发,本文将研究t r o p i c a lq差分C l u n i e引理和M o h o nk o引理.首先本文讨论的是形如P(x,f)a(x)f(x)()的t r o p i c a lq差分多项式,其中(,m)是一个关于实数的多重指标,是关于的集合,对所有的,满足a(x)是小函数,即除去一个有限对数测度的例外集对所有的r有:a(x)o(T(r,f(x),并且f(x):f(x)f(qxc)mf(qmxcm)注意,这里的是一个关于实数的指标而不是仅限于非负整数,因此P(x,f)严格上来说是一个关于f(x)的t r o p i c a lq差分L a u r e n t多项式.该多项式(关于f(x)的次数为:m a x m a x(m)除特殊说明外,在下文中的t r o p i c a lq差分L a u r e n t多项式就是形如()式.另外为了叙述更加简便,这里给出两个记号:对于给定,我们记S(r,f)来表示o(T(r,f(x)O(rT(r,f(x);用S(r,f):o(T(r,f)来表示小函数.下面给出t r o p i c a lq差分的C l u n i e引理.定理令H(x,f),P(x,f)和Q(x,f)是关于f(x)的t r o p i c a lq差分多项式的L a u r e n t多项式.如果f(x)是满足方程H(x,f)P(x,f)Q(x,f)的一个零级的t r o p i c a l亚纯函数解,其中d e g(Q)d e g(H),且d e g(P),那么在一个对数测度为的集合上有:m(r,P(x,f)S(r,f)作为定理的一种特殊情形,我们有以下推论:推论令P(x,f)和Q(x,f)是关于f(x)的t r o p i c a lq差分多项式的L a u r e n t多项式.如果f(x)是满足方程fn(x)P(x,f)Q(x,f)的一个零级的t r o p i c a l亚纯函数解,其中Q(x,f)关于f(x)的次数最高不超过n,那么在一个对数测南昌大学学报(理科版)年度为的集合上有:m(r,P(x,f)S(r,f)下面给出t r o p i c a lq差分的V a l i r o n M o h o nk o引理.定理给定一个零级的t r o p i c a l亚纯函数f(x)和关于f(x)的t r o p i c a lq差分L a u r e n t多项式P(x,f)a(x)f(x)其中对所有的,a(x)是小函数,并且P(x,f)关于f(x)的次数为n,则在一个对数测度为的集合上有m(r,P(x,f)n m(r,f(x)S(r,f)下面给出t r o p i c a lq差分的M o h o nk o引理.定理给定t r o p i c a lq差分L a u r e n t多项式方程P(x,f)a(x)f(x)令f(x)是该方程的一个零级的t r o p i c a l亚纯函数解,则在一个对数测度为的集合上有m(r,f)S(r,f),m(r,苓f)S(r,f)且m(r,苓(fa)m(r,m a x(f,a)S(r,f)年,J LZ h a n g和R K o r h o n e n 给出了经典亚纯函数的q差分的H a y m a n定理;年,KL i u,I L a i n e和K T o h g e 给出了t r o p i c a l差分的H a y m a n定理:定理C,定理如果f(x)是一个t r o p i c a l超越整函数,对于,f(x)f(xc)有无限多个根.接下来,受定理C的启发,我们给出t r o p i c a l版本的q差分H a y m a n定理.定理如果f(x)是一个t r o p i c a l超越整函数,对于,q是一个非零常数,那么f(x)f(q x)有无限多个根.几个引理在 年,R G H a l b u r d和NJ S o u t h a l l给出了t r o p i c a l差分的对数导数引理:引理,定理 令f(x)是有限级的t r o p i c a l亚纯函数,对于给定的,c ,除去一个有限对数测度的例外集对所有的r有:m(r,f(xc)苓f(x)O(rT(r,f)在 年,S Q C h e n g证明了t r o p i c a lq差分的对数导数引理:引理定理令f(x)是一个零级的t r o p i c a l亚纯函数,q,那么在一个对数测度为的集合上有:m(r,f(q x)苓f(x)o(T(r,f)引理令f(x):是一个增函数并且l i mrl o gT(r)l o gr那么集合E:r:T(Cr)CT(r)的上界对数测度为,其中C,C.在文献 中,R K o r h o n e n和J LZ h a n g讨论了零级的经典亚纯函数f(z)以及f(q z)(q)的N e v a n l i n n a函数之间的关系,得到了T(r,f(q z)(o()T(r,f(z)的结论.由此我们考虑零级的t r o p i c a l亚纯函数f(x)以及f(q x)(q)的N e v a n l i n n a函数之间的关系.引理令f(x)是一个非常数的零级的t r o p i c a l亚纯函数,给定q,存在q使得除去一个零对数测度例外集对所有的r有N(r,f(q x)qN(r,f(x)从而在一个对数测度为的集合上有T(r,f(q x)(qo()T(r,f(x)证我们首先证明N(r,f(q x)qN(r,f(x).我们考虑下列三种情形:情形当|q|,显然有N(r,f(q x)N(r,f(x).情形当|q|,我们注意到f(x)在|x|q|r 中的极点的个数(考虑重数)等于f(q x)在|x|r 中的极点的个数.也就是说x是f(q x)的极点当且仅当q x是f(x)的极点,且它们的重数相同.用f(x)表示f(x)在区间r,r 的极点x的重数.那么根据t r o p i c a l计数函数的定义有N(r,f(q x)|b|rf(q x)(b)(r|b|)|q|q b|q|rf(x)(q b)(|q|r|q b|)|q|N(|q|r,f(x)根据引理,存在q使得除去一个零上界对数测度的例外集有:N(r,f(q x)|q|N(q r,f(x)第期薛培智等:关于q差分的T r o p i c a l值分布的一些结果q|q|N(r,f(x)()再次使用引理可得,除去一个零上界对数测度的例外集有:N(r,f(x)N(|q|r,f(x)|q|N(r,f(x)()因此结合()与(),存在q(|q|q,|q|)使得除去一个零上界对数测度的例外集有:N(r,f(q x)qN(r,f(x)情形当|q|,那么|q|,由情形得到,除去一个零上界对数测度的例外集有:N(r,f(x)N(|q|q|r,f(x)|q|N(|q|r,f(x|q|)q|q|N(|q|r,f(x)qN(r,f(q x)从而结合上面三种情形得到:存在q,除去一个零上界对数测度的例外集对所有的r有:N(r,f(q x)qN(r,f(x)()接下来我们证明T(r,f(q x)(qo()T(r,f(x).根据引理和()我们有:在一个对数测度为的集合E上有T(r,f(q x)m(r,f(q x)N(r,f(q x)m(r,f(q x)苓f(x)m(r,f(x)qN(r,f(x)o(T(r,f)T(r,f)(q)N(r,f(x)o(T(r,f)T(r,f)(q)T(r,f(x)o(T(r,f)qT(r,f)同样地可以得到:在一个对数测度为的集合E上:T(r,f)m(r,f)N(r,f)m(r,f(x)苓f(q x)m(r,f(q x)qN(r,f(q x)o(T(r,f)T(r,f(q x)(q)N(r,f(q x)o(T(r,f)T(r,f(q x)(q)T(r,f(q x)o(T(r,f)qT(r,f(q x)从而我们得到了在一个对数测度为的集合E上有:T(r,f(q x)(qo()T(r,f(x)那么由引理,引理和引理,容易得出下列的引理:引理令f(x)是一个零级的t r o p i c a l亚纯函数,给定c,q 以及.则在一个对数测度为的集合上有:m(r,f(q xc)苓f(x)S(r,f)证明在 中给出了t r o p i c a l均值函数具有性质:m(r,fg)m(r,f(x)m(r,g(x)因此根据引理,引理和引理有:m(r,f(q xc)苓f(x)m(r,f(q xc)苓f(q x)m(r,f(q x)苓f(x)o(T(r,f(x)O(rT(r,f(q x)o(T(r,f(x)O(rT(r,f(x)S(r,f)注意,对于一个零级的t r o p i c a l亚纯函数,对于给定的c,q 以及,那么在一个对数测度为的集合上同样有:m(r,f(x)苓f(qxc)S(r,f)只要使用引理的结论并且取qq,ccq就可得出结论.定理的证明定理的证明对于给定的r,我们分下列两种情形:S:s:f(s),|s|r,S:s:f(s),|s|r不妨令P(x,f)Pa(x)f(x)Q(x,f)Qb(x)f(x)H(x,f)Hd(x)f(x)则我们有m(r,P(x,f)sSP(s,f)sSP(s,f)()对于xS的情形P(x,f)Pa(x)f(x)f(qxc)fm(qmxcm)m a xP(a(x)mjj(f(qjxcj)f(x)f(x)m a xP(a(x)南昌大学学报(理科版)年mjj(f(qjxcj)f(x)因此有P(x,f)m a xPa(x)a(x)mjj(f(qjxcj)f(x)(f(qjxcj)f(x)m a xP(m(r,a(x)m a xP(mjjm(r,f(qjxcj)苓f(x)根据引理以及a(x)是小函数有:sSP(x,f)S(r,f)接下来讨论x S的情形.由于Q(x,f)Qb(x)f(x)m a xQ(b(x)mjj(f(qjxcj)f(x)f(x)m a xQ(b(x)mjj(f(qjxcj)f(x)d e g(Q)f(x)m a xQ(b(x)mjj(f(qjxcj)f(x)d e g(Q)f(x)所以由P(x,f)H(x,f)Q(x,f)得Q(x,f)P(x,f)H(x,f)P(x,f)m a xH(d(x)mjj(f(qjxcj)f(x)f(x)P(x,f)m a xH,d e gH(d(x)mjj(f(qjxcj)f(x)d e g(H)f(x)因此,有P(x,f)d e g(Q)f(x)d e g(H)f(x)m a xQ(b(x)mjj(f(qjxcj)f(x)m a xH,d e gH(d(x)mjj(f(qjxcj)f(x)m a xQb(x)b(x)m a xH,d e gHd(x)d(x)m a xQmjj(f(qjxcj)f(x)(f(qjxcj)f(x)m a xH,d e gHmjj(f(qjxcj)f(x)(f(qjxcj)f(x)d e g(Q)f(x)d e g(H)f(x)结合引理和上述不等式,有:P(x,f)S(r,f)(d e g(Q)d e g(H)f(x)因为d e g(Q)d e g(H),所以有sSP(x,f)S(r,f)由()和()得出m(r,P(x,f)S(r,f)定理的证明因为P(x,f(x)a(x)f(x)m a xa(x)mjj(f(qjxcj)f(x)f(x)m a xa(x)n f(x)m a xmj(jj)(f(qjxcj)f(x)m a xa(x)n f(x)m a xmjj(f(qjxcj)f(x)j(f(qjxcj)f(x)所以有m(r,P(x,f)m(r,m a xa(x)m(r,m a xmj(j(f(qjxcj)f(x)m(r,m a xmj(j(f(qjxcj)f(x)m(r,n f(x)n m(r,f(x)S(r,f)反过来,对于所有的,我们有P(x,f)a(x)mjj(f(qjxcj)f(x)f(x)再次使用引理,令最大值取遍所有的,我们有m(r,P(x,f)n m(r,f)S(r,f)从而我们得到了m(r,P(x,f)n m(r,f)S(r,f)定理的证明我们先证明m(r,f(x)S(r,f).由于P(x,f),因此对所有的有m(r,a(x)mjjf(qjxcj)m(r,P(x,f)S(r,f)令b(x):a(x)mjjf(qjxcj)根据t r o p i c a l第一基本定理()有:m(r,a(x)T(r,a(x)T(r,a(x)O()S(r,f)因此第期薛培智等:关于q差分的T r o p i c a l值分布的一些结果m(r,mjjf(qjxcj)m(r,ba)m(r,b)m(r,a)S(r,f)根据引理,我们有:m(r,f(x)m(r,mjjf(qjxcj)mjj(f(x)f(qjxcj)m(r,mjjf(qjxcj)m(r,mjj(f(x)f(qjxcj)S(r,f)从而有:m(r,f(x)m(r,f(x)S(r,f)接下来证明第二个结论m(r,苓f)S(r,f).因为P(x,f),那么对任意的,有a(x)mjjf(qjxcj)给定x,至少存在一个x,使得ax(x)mjx,j(f(qjxcj)f(x)xf(x)则(f)(x)x(ax(x)mjx,j(f(qjxcj)f(x)(f)(x)x(ax(x)mjx,j(f(qjxcj)f(x)从而我们可以得到(f)(x)x(ax(x)mjx,j(f(qjxcj)f(x)x(ax(x)mjx,j(f(qjxcj)f(x)xax(x)(ax)(x)()mjx,jx(f(qjxcj)f(x)(f(x)f(qjxcj)m a xm a xa(x)m a x(a)(x)()mjm a xj(f(qjxcj)f(x)(f(x)f(qjxcj)类似地,我们有:(f)(x)m a x(m a xa(x)m a x(a)(x)mjm a xj(f(qjxcj)f(x)(f(x)f(qjxcj)根据t r o p i c a l均值函数的定义,我们有m(r,f)(f)(r)(f)(r)m a x(m(r,m a xa(x)m(r,m a x(a)(x)mjm a xjm(r,f(qjxcj)苓f(x)m(r,f(x)苓f(qjxcj)再根据引理以及a(x)是小函数,得出m(r,苓f)S(r,f)因此m(r,苓(fa)m(r,m a x(f,a)m(r,f)S(r,f)得证.定理的证明我们首先证明一个论断:若f(x)是t r o p i c a l整函数,那么f(x)f(q x)也是t r o p i c a l整函数,其中q是非零常数.反之不妨令F(x)f(x)f(q x)有一个极点x,那么有以下两种情形:如果x是f(x)的一个根,那么它同样是f(x)的根,从而x是苓f(x)的一个极点.因为f(q x)F(x)苓f(x)并且x是F(x)的一个极点,因此x也是f(q x)的极点,这与f(x)是t r o p i c a l整函数矛盾;如果x不是f(x)的一个根,那么根据f(q x)F(x)苓f(x),x一定是f(q x)的极点,矛盾.因此f(x)f(q x)也是t r o p i c a l整函数.我们接着证明定理.由上面的论断,我们有F(x)f(x)f(q x)也是t r o p i c a l整函数.假南昌大学学报(理科版)年设F(x)f(x)f(q x)只有有限多个根,不妨设为x,xn.那么如果x是f(x)的一个根,那么xx,xn.若不然,根据f(q x)F(x)苓f(x),可得x是f(q x)的一个极点,矛盾.因此f(x)仅有有限多个根,从而f(x)是t r o p i c a l多项式,这与f(x)是t r o p i c a l超越整函数矛盾.因此f(x)f(q x)有无限多个根,得证.参考文献:HA L B UR DRG,S OUTHA L LNJ T r o p i c a lN e v a n l i n n at h e o r ya n du l r a d i s c r e t ee q u a t i o n sJI n t e r n a t i o n a lM a t h e m a t i c sR e s e a r c hN o t i c e s,:HAYMAN W K O nt h ec h a r a c t e r i s t i co ff u n c t i o n sm e r o m o r p h i c i nt h ep l a n ea n do ft h e i ri n t e g r a l sJP r o c e e d i n g s o f t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,A:L A I N EI,YAN GCC T r o p i c a lv e r s i o n so fC l u n i ea n dM o h o nk o l e mm a sJt oa p p e a r i nC o m p l e xV a r i a b l e sE l l i p t i cE q u,:B A R N E T TDC,HA L B UR DRG,KO RHON E NR,e ta l N e v a n l i n n at h e o r yf o r t h eq d i f f e r e n c eo p e r a t o r sa n dm e r o m o r p h i cs o l u t i o n so fq d i f f e r e n c ee q u a t i o n sJP r o c e e d i n g so f t h eR o y a lS o c i e t yo fE d i n b u r g hS e c t i o nA:M a t h e m a t i c s,:Z HAN G JL,KO RHON E N R O nt h e N e v a n l i n n ac h a r a c t e r i s t i co ff(q z)a n di t sa p p l i c a t i o n sJJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,:L A I N EI,L I U K,T OHG E K T r o p i c a lv a r i a n t so fs o m ec o m p l e xa n a l y s i sr e s u l t sJ A n n a l e sA c a d e m i a eS c i e n t i a r u mF e n n i c a eM a t h e m a t i c a,:CHE N GSQD o u b i n gt r o p i c a l q d i f f e r e n c ea n a l o g u eo ft h e l e mm ao nt h e l o g a r i t h m i cd e r i v a t i v eJB u l l e t i no ft h e A u s t r a l i a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y,:曹廷彬,阮海洪亚纯映射分担移动目标的唯一性定理J南昌大学学报(理科版),():武王宁,曹廷彬多复变差分C l u n i e型定理J南昌大学学报(理科版),():徐玲,罗润梓,曹廷彬,关于F e r m a t型差分方程的整函数解J南昌大学学报(理科版),():第期薛培智等:关于q差分的T r o p i c a l值分布的一些结果