关于第十二届全国大学生数学竞赛一道赛题推广的条件.pdf

第 22 卷第 6 期南阳师范学院学报Vol.22 No.62023年11月Journal of Nanyang Normal UniversityNov.2023收稿日期:2023-06-22基金项目:2019 年 度 河 南 省 高 等 学 校 精 品 在 线 开 放 课 程、2022 年 度 省 部 共 建 放 射 医 学 与 辐 射 防 护 国 家 重 点 实 验 室 开 放 课 题(GZK1202232);2019 年河南省优秀基层教学组织、南阳师范学院“课程思政”项目(2019-KCSZ-16);河南省高等学校重点科研项目(23A110004)作者简介:华梦霞(1977),女,河南南阳人,硕士,副教授,主要从事高等数学方面的研究。关于第十二届全国大学生数学竞赛一道赛题推广的条件华梦霞,陈庆(南阳师范学院 数学与统计学院,河南 南阳 473061)摘要:一道全国大学生数学竞赛试题的推广(高等数学研究2022 年第 5 期)对第十二届全国大学生数学竞赛的一道试题进行了推广,并得到了相关数列的极限。本文指出在讨论该文中的相应极限时,是可以去掉连续性假设的。关键词:严格单调函数;连续性;反函数中图分类号:O 172.1文献标志码:A文章编号:1671-6132(2023)06-0046-03数学竞赛活动的开展,可以增强大学生学习数学的兴趣,培养其分析、解决问题的能力,发现和选拔数学创新人才,故不少文献都关注了竞赛试题的研究1-6。本文对 2020 年第十二届全国大学生数学竞赛初赛(数学类 A 卷)第五题的推广做进一步的研究。原试题如下:是 R 上严格单调增加的连续函数,是 的反函数,实数列xn满足xn+2=1-1n()(xn)+1n(xn+1)(),n2。证明xn收敛或举例说明xn有可能发散。该试题的答案是可以证明xn收敛,文献1说明:去掉连续性假设仍可证明xn 是收敛的。文献2对此进行了推广,得到了如下结果。命题 1 是 R 上严格单调函数,是 的反函数,实数列xn满足xn+2=(n(xn)+(1-n)(xn+1),()其中,0 n 1,若无穷乘积k=1k发散到 0,则xn 收敛。给出命题 1 后,文献2在 n取一些特殊值时给出了xn的极限,但在计算一些具体的xn的极限时,仍然假设了 是连续的。本文将指出,在命题 1 基础上计算xn的极限时,仍无需假设 的连续性,可得完全相同的结论。本文主要结果如下。命题 2,xn,n如命题 1 中所示,设limnxn=x0,若 x1x2,则 在点 x0连续。证明:不妨设 严格单调递增,xn+2=(n(xn)+(1-n)(xn+1),则(xn+2)=n(xn)+(1-n)(xn+1)。记 yn=(xn),于是yn+2=nyn+(1-n)yn+1,由此可知 yn+2-yn+1=-n(yn+1-yn)。反复应用上式可得yn+2-yn+1=(-1)nnk=1k(y2-y1)。(1)第 6 期华梦霞,等:关于第十二届全国大学生数学竞赛一道赛题推广的条件易得y2n+2-y2n+1=(-1)2n2nk=1k(y2-y1),(2)y2n+1-y2n=(-1)2n-12n-1k=1k(y2-y1),(3)y2n+1-y2n-1=(1-2n-1)2n-2k=1k(y2-y1),(4)y2n+2-y2n=-(1-2n)2n-1k=1k(y2-y1)。(5)(1)若 x1x2,由于 严格递增,所以 y1y2。由(3)(4)(5)三式可知y1y3y2n+1y2ny4y2。(6)由单调有界定理,y2n,y2n+1 均收敛。由于k=1k发散到 0,由(3)可知 limn(y2n+1-y2n)=0,从而yn 收敛。设limnyn=y0,因为 是 R 上严格单调增加的函数,所以 也严格单调递增,从而 x1x3x2n+1x2nx4x2。(7)于是x2n,x2n+1均收敛,设limnx2n=A,limnx2n+1=B,则x2n+1BAx2n。(8)由于 严格单调递增,所以(x2n+1)(B)(A)(x2n),即y2n+1(B)(A)y2n。令 n,y0(B)(A)y0。所以(A)=(B)。由于 严格单调递增,所以 A=B,所以xn收敛。设limnxn=x0。下面证明 在点 x0连续。因为 严格单调递增,所以 在点 x0的两个单侧极限均存在,设limxx0-(x)=b,limxx0+(x)=a。(9)下证 a=b=(x0)即可。由于 严格单调递增,故 b(x0)a。(10)由(8)以及limnxn=x0可知x2n+1x0 x2n,由于 严格单调递增,y2n+1=(x2n+1)(x0)x2,采用完全相同的办法,可以证明 在点 x0连续。若 严格单调递减,采用类似的方法可以得到结论。注 1命题 2 说明在特定情况下求 xn的极限时,无需额外假设 的连续性,例如在文献2 所举的第二个例子中 n(0 1),xn x,yn+2-yn+1=(-1)nn(y2-y1),则若 x1 x2,yn=(xn)y,于是 yn+2-y1=nk=0(-)k(y2-y1),由命题 2y=(x),令 n ,y=11+y2+1+y1,x=(y)=11+y2+1+y1()。74南阳师范学院学报第 22 卷若 x1=x2,则 xn=x,所以limnxn=x。注 2:命题 2 并没有保证 在 R 上连续,仅说明:若 x1x2,xn满足()式,则 在xn的极限 x0连续,若 x1=x2,则xn为常数列,x1仍可能是 的间断点。参考文献1陈庆,华梦霞.第十二届全国大学生数学竞赛预赛一道试题条件的省略J.高等数学研究,2021,24(5):10-11.2詹婉荣,李梦宇,于海.一道全国大学生数学竞赛试题的推广J.高等数学研究,2022,25(5):59-60.3刘鑫旺,沈艳.一道有关积分中值定理的全国大学生数学竞赛试题的探讨J.大学数学,2022,38(6):96-100.4刘烁,马丽娜,吴克坚,等.历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析J.高等数学研究,2021,24(3):77-79.5陈庆,华梦霞.关于一道竞赛习题条件的探讨J.南阳师范学院学报,2018,17(3):9-10.6崔凯华,曲宇勋,蒋恺,等.第六届全国大学生数学竞赛预赛一道题的推广J.大学数学,2017,33(6):115-121.Conditions for promoting one question in the 12th National College Student Mathematics CompetitionHUA Mengxia,CHEN Qing(School of Mathematics and Statistics,Nanyang Normal Unierstity,Nanyang 473061,China)Abstract:The Promotion of a Test Question in the National College Student Mathematics Competition has promo-ted a test question in the 12th National College Student Mathematics Competition and obtained the limit of the relevant sequence.This article points out that the continuity assumption can be removed when discussing the cor-responding limit in the article.Key words:strictly monotone function;continuity;inverse function84