1、周六自主招生培训讲座
第一讲：凸函数与琴生不等式
一、函数的凹凸性：
定义：设连续函数的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有
①
则称为 (a，b)上的下凸函数．
注：①若把①式的不等号反向，则称这样的为区间 (a，b)上的上凸函数．（或凹函数）
②下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上
方（或曲线上）．
③的二阶导数，则为下凸函数；的二阶导数，则
为上凸函数。
常见的上凸（凹）函数，
常见的（下）凸函数，
二、琴生不等式性质：
若在区间为下凸函数，则对，
总有
2、
当且仅当时取到等号。
若在区间为上凸函数，则对，
总有。
当且仅当时取到等号。
三、加权形式：
附：应用，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式
，等号成立条件。
而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的
，等号成立条件。
常用不等式：
例1 证明：(1) 在上是上凸函数
(2) 在上是上凸函数
(3) 上是下凸函数
证明：(1) 对
(2) 对
即：．
(3) 当时
（∵）
即：．
例2 设是锐角的三个内角，求证：
例3 ，且a + b + c = 3，求证：．
证明：
3、设，则上的凹函数．
由琴生：
∴ ．
例4 设是的三个内角，是非负常数，求
的最大值。
例5 用琴生不等式证明均值不等式，即：．
证：∵
设，则为上的上凸函数
由琴生不等式：
即
例6 已知，
求证：
证：
例7 已知：求证：
.
例8 设均大于0，
证明：，
其中，且.
例9
例10 （2011, 湖北）
（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；
（
4、Ⅱ）设均为正数，证明：
（i）若，则
（ii）若，则。
解：（Ⅰ）max=f(1)=0
（Ⅱ）证明
（i）令g(x)=lnx(x>0), 则g”(x)=g (x) 在（0，+）上是凹函数，对于ak(0, +), (k=1,2,…，n)，由琴生不等式：
(ii) 由(i)知，g(x)=lnx在 上是凹函数，由琴生不等式：
10 对于bk(0,1), 且
（*）
例11 (2012，湖北22题)
（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的
最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设，为正有理数. 若，则；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到
5、一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当为正有理数时，有求导公式.
解析：
（II） 证明：令g(x)=lnx(x>0), 则g(x) 在上为凹函数（1题已证）
10 当，中至少有一个为0时，则成立；
20 若，>0时，由琴生不等式：
ln
综上，原不等式成立。
（III） 命题形式：
设 则
证明：10 当,……an中至少有一个为0时，原不等式显然成立。
20 当ak>0时，由琴生不等式：
综上，原不等式成立。
例12 设半径为1的半圆上依次有个点线段的长度分别记为，求证：，其中
例13 设是圆的内接边形，且点在此边形的内部。又设，其中求证：
7
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