平行四边形矩形菱形正方形复习课.pptx

第十八章平行四边形复习课定义：定义：两组对边分别两组对边分别 的四的四边形是平行四边形。边形是平行四边形。性质：性质：1 1、平行四边形对边、平行四边形对边2 2、平行四边形对角、平行四边形对角3 3、平行四边形对角线、平行四边形对角线平行平行相等相等互相平分互相平分相等相等4、平行四边形是中心对称图形、平行四边形是中心对称图形两条平行线，其中两条平行线，其中一条直线上任一点到另一条直线上任一点到另一条直线的距离一条直线的距离，叫做两条平行线之间的，叫做两条平行线之间的距离距离.平行线的又一性质：平行线的又一性质：abABEDCF平行线之间的距离处处相等平行线之间的距离处处相等从边来判定从边来判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角来判定从角来判定两组对角分别相等的四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形是平行四边形从对角线来判定从对角线来判定两条对角线互相平分的四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形理一理理一理平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法定义：把连接三角形两边中点的线段定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线叫做三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半的第三边，且等于第三边的一半中位线定理中位线定理类型之一平行四边形的性质类型之一平行四边形的性质1 1已知已知 ABCDABCD的周长为的周长为3232，ABAB4 4，则，则BCBC()A A4 4 B B1212C C24 24 D D2828【解析解析】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ABABCDCD，ADADBCBC.平行四边形平行四边形ABCDABCD的周长是的周长是32.32.2(2(ABABBCBC)3232，ABABBCBC16.16.ABAB4 4，BCBC12.12.故选故选B.B.B2已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中1与2一定不相等的是()ABCD图181C3如图182，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么CDF与ABE不一定全等的条件是()图182ADFBEBAFCECCFAEDCFAEC42013乐乐山山如图183，点E是 ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF3，DE2，则 ABCD的周长为()图183A5B7C10D14D52013攀攀枝枝花花如图184所示，已知在 ABCD中，BEDF.求证：AECF.证明证明：BEDF，BEEFDFEF.DEBF.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC，ADBC.ADECBF.类型之二两条平行线之间的距离类型之二两条平行线之间的距离6如图185，直线ABCD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将()A变大B变小C不变D变大或变小要看点P向左还是向右移动图185C C类型之三平行四边形的判定类型之三平行四边形的判定7如图186，在ABC中，ACB90，点E为AB中点，连接CE，过点E作EDBC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AFCE.求证：四边形ACEF是平行四边形图186证明证明：如图，：如图，点点E为为AB中点，中点，ACB90，第第7题答图题答图CEAEEB(直直角角三三角角形形斜斜边边上上的的中中线线等等于于斜斜边边的的一一半半)又又AFCE，AFAE，3F.又又EBEC，EDBC，12.又又23，1F，CEAF，四边形四边形ACEF是平行四边形是平行四边形类型之四平行四边形的性质与判定的综合运用类型之四平行四边形的性质与判定的综合运用92013南南平平如图188，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BEFD，求证：四边形AECF是平行四边形证明证明：在：在 ABCD中，中，ADBC且且ADBC，BEFD，AFCE，四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形图18811如图1810，在 ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AECF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.图1810求证：(1)AEMCFN；(2)四边形BMDN是平行四边形证明证明：(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD，ADBC，DABBCD，EAMFCN.又又ADBC，EF.(2)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AB綊綊CD.又由又由(1)得得AMCN，BM綊綊DN，四边形四边形BMDN是平行四边形是平行四边形12如图1811，ABCD中，ABC的平分线交AD于E，CDA的平分线交BC于F.(1)求证：ABECDF；(2)连接EF，BD，求证：EF与BD互相平分图1811(2)如图，连接如图，连接EF，BD.ABECDF，AECF.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC，ADBC，DEBF且且DEBF.四边形四边形BFDE是平行四边形是平行四边形EF与与BD互相平分互相平分第12题答图2.矩形的性质：矩形的性质：对边平行且相等对边平行且相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角线互相平分且相等且相等1.矩形的定义矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形边：边：角：角：对角线：对角线：矩形是中心对称图形矩形是中心对称图形也是轴对称图形也是轴对称图形矩形：矩形：矩形的特殊性质矩形的特殊性质性质性质1 1、矩形的四个角都是直角、矩形的四个角都是直角性质性质2 2、矩形的两条对角线相等、矩形的两条对角线相等几何语言几何语言:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 AC=BDAC=BDA=B=C=D=90A=B=C=D=90定义：有一个角是直角的平行四边形叫做定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形矩形性质角边对角线对称性四个角都四个角都是直角是直角对边平行对边平行且相等且相等互相平分互相平分且相等且相等是轴对称是轴对称图形图形推论：推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACBDACB=90AD=BDCD=AB复复习习与与回回顾顾矩形：提示：判定一个四边形是矩形，应先认清是任 意四边形，还是平行四边形，然后选择适当的方法判定。平行四边形平行四边形的判定的判定有一个角是直角的平行四边形有一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形有三个角是直角有三个角是直角对角线互相平分且相等对角线互相平分且相等一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形平行四边形边边对角线对角线角角菱形的定义菱形的定义菱菱形形的的性性质质菱形菱形菱形的两条对角线互相平分菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行菱形的两组对边平行菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。每一条对角线平分一组对角。菱形常用的判定方法菱形常用的判定方法有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形。有四条边相等的四边形是菱形。四条边都相等四条边都相等菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分一组对边平行且相等一组对边平行且相等二组对边平行或相等二组对边平行或相等四边形四边形平行四边形平行四边形一组对角平行且相等一组对角平行且相等平行四边形平行四边形菱形定义定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形平行四边形一个角是直角一个角是直角矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角一个角是直角有一个角是有一个角是直角直角且一组且一组邻边相等邻边相等的的平平行四边形行四边形叫做叫做正方形正方形正方形正方形平行四边形平行四边形正方形的正方形的 两条对角线互相两条对角线互相垂直垂直平分平分且且相等相等,每条对角线每条对角线平分一组对角平分一组对角正方形的对边正方形的对边平行平行且且相等相等正方形的四个角都是正方形的四个角都是直角直角边边对角线对角线角角正方形的定义正方形的定义正正方方形形的的性性质质一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形矩形矩形有一组邻边相等有一组邻边相等菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角平行四边形平行四边形有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角正正方方形形常常见见的的判判定定法法平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正正方方形形类型之一与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的命题类型之一与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的命题12014防城港防城港下列命题是假命题的是()A四个角相等的四边形是矩形B对角线相等的平行四边形是矩形C对角线垂直的四边形是菱形D对角线垂直的平行四边形是菱形 本章复习课C类型之二直角三角形斜边上的中线类型之二直角三角形斜边上的中线2如图191，在ABC中，ACB90，A30，BC2，点M是斜边AB的中点，那么CM_2图191【解析解析】ACB90，A30，BC2，AB2BC4.点点M是斜边是斜边AB的中点，的中点，3如图192，四边形ABCD中，BADBCD90，M，N分别是对角线BD，AC的中点求证：直线MN是线段AC的垂直平分线图192证明证明：如图，连接如图，连接AM，CM，BADBCD90，M是是BD的中的中点，点，N是是AC的中点，的中点，直线直线MN是线段是线段AC的垂直平分线的垂直平分线第3题答图 类型之三矩形的性质与判定类型之三矩形的性质与判定42014黔黔东东南南如图193，在矩形ABCD中，AB8，BC16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为()D图193【解析解析】设设BEx，则，则CEBCBE16x，沿沿EF翻折后点翻折后点C与点与点A重合，重合，AECE16x.在在RtABE中，中，AB2BE2AE2，即即82x2(16x)2，解得解得x6，AE16610.由翻折的性质得，由翻折的性质得，AEFCEF，矩形矩形ABCD的对边的对边ADBC，第4题意图AFECEF，AEFAFE.AEAF10.过点过点E作作EHAD于于H，则四边形，则四边形ABEH是矩形，是矩形，EHAB8，AHBE6.FHAFAH1064.类型之四菱形的性质与判定类型之四菱形的性质与判定62014枣庄枣庄如图195，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE3，则四边形AECF的周长为()A22B18C14D11图195A【解析解析】在菱形在菱形ABCD中，中，BACBCA，AEAC，BACBAEBCAE90，BAEE，BEAB4，ECBEBC448，同理可得同理可得AF8，ADBC，四边形四边形AECF是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形AECF的周长的周长2(AEEC)2(38)22.72014牡牡丹丹江江如图196，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且AEDF60，有下列结论：AEBF；DEF是等边三角形；BEF是等腰三角形；ADEBEF，其中结论正确的个数是()A3B4C1D2图196A【解析解析】连结连结BD，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，A60，ADC120，ADB60，同理：同理：DBF60，即，即ADBF.易知易知ABD是等边三角形，是等边三角形，ADBD，第7题答图ADEBDE60，BDEBDFEDF60，ADEBDF，ADEBDF，DEDF，AEBF，故，故正确；正确；EDF60，EDF是等边三角形，是等边三角形，正确；正确；DEF60，AEDBEF120，AEDADE180A120，ADEBEF，故故正确；正确；ADEBDF，AEBF，同理：同理：BECF，但，但BE不一定等于不一定等于BF.故故错误错误综上所述，结论正确的是综上所述，结论正确的是.82014淄淄博博已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形你添加的条件是_ABBC或ACBD等9 920132013宜昌宜昌 如图如图19197 7，点，点E E，F F分别是锐角分别是锐角A A两两边上的点，边上的点，AEAEAFAF，分别以点，分别以点E E，F F为圆心，以为圆心，以AEAE的长为的长为半径画弧，两弧相交于点半径画弧，两弧相交于点D D，连接，连接DEDE，DFDF.(1)(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；请你判断所画四边形的形状，并说明理由；(2)(2)连结连结EFEF，若，若AEAE8 cm8 cm，A A6060，求线段，求线段EFEF的长的长解解：(1)四边形四边形AEDF是菱形是菱形理由：根据题意得理由：根据题意得AEAFEDDF，四边形四边形AEDF是菱形是菱形(2)如图，连接如图，连接EF，AEAF，A60，EAF是等边三角形，是等边三角形，EFAE8cm.第9题答图10如图198，ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，与AC，AE分别交于点O，E，连接EC.(1)求证：ADEC；(2)当BAC90时，求证：四边形ADCE是菱形；(3)在(2)的条件下，若ABAO，且ODa，求菱形ADCE的周长图198解解：(1)证明：证明：AEBC，DEAB，四边形四边形ABDE是平行四边形，是平行四边形，AEBD.D是是BC的中点，的中点，CDBD.AECD，AECD.四边形四边形ADCE是平行四边形是平行四边形ADEC.(2)证明证明当当BAC90时，时，AD是是RtABC斜边上的中线，斜边上的中线，四边形四边形ADCE是菱形是菱形(3)四边形四边形ADCE是菱形，是菱形，对角线对角线ACDE，且，且O是是DE中点中点四边形四边形ABDE是平行四边形，是平行四边形，ABDE.又又ABAO，ODa，AODE2OD2a.类型之五正方形的性质与判定类型之五正方形的性质与判定112013鄂鄂州州如图199，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点(1)求证：ADEABF；(2)求AEF的面积图199解解：(1)证明：证明：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABAD，DB90，DCBC.E，F分别为分别为DC，BC的中点，的中点，DEBF.ADEABF.(2)由题知由题知ABF，ADE，CEF均为直角三角形，均为直角三角形，12如图1910，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AFBPCQDE.求证：(1)EFFPPQQE；(2)四边形EFPQ是正方形证明证明：(1)四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABCD90，ABBCCDAD.AFBPCQDE，DFCEBQAP.图1910在在APF，DFE，CEQ和和BQP中，中，APFDFECEQBQP，EFFPPQQE.(2)EFFPPQQE，四边形四边形EFPQ是菱形是菱形APFBQP，AFPBPQ.AFPAPF90.APFBPQ90.FPQ90，四边形四边形EFPQ是正方形是正方形13如图1911，已知 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形图1911【解解析析】(1)利利用用等等边边三三角角形形三三线线合合一一得得DBAC，对对角角线线互互相相垂直的平行四边形是菱形垂直的平行四边形是菱形(2)由由等等边边三三角角形形得得AEC60，由由AED2EAD，得得EAD 15，于于 是是 ADO EAD AED 45，则则ADC2ADO90，从而四边形，从而四边形ABCD是正方形是正方形证明证明：(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AOCO.又又ACE是等边三角形，是等边三角形，EOAC，即，即DBAC，ABCD是菱形是菱形(2)ACE是等边三角形，是等边三角形，AEC60.AED2EAD，EAD15，ADOEADAED45，ADC2ADO90.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，四边形四边形ABCD是正方形是正方形12014济宁改编济宁改编如图1，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.求证：BFDF.证明证明：四边形四边形ABCD和和AEFG都是正方形，都是正方形，ABAD，AEAGEFFG，BEFDGF90.BEABAE，DGADAG，BEDG.BEFDGF，BFDF.培优选练（六）以正方形为背景的证明与计算图122014天水天水如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，ADECDF.(1)求证：AECF；(2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OGOD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由解解：(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ADCD，AC90.ADECDF，RtADE RtCDF.AECF.图2(2)四边形四边形DEGF是菱形是菱形四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABDDBC45(正方形的对角线平分一组对角正方形的对角线平分一组对角)，ABBC(正方形邻边相等正方形邻边相等)AECF(已证已证)，ABAEBCCF(等式的性质等式的性质)，即即BEBF.易得易得BOEBOF，OEOF.ODOG，四边形四边形DEGF是平行四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形)，DEDF，DEGF是菱形是菱形32014梅州梅州如图3，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE.(1)求证：CECF；(2)若点G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？解解：(1)在正方形在正方形ABCD中，中，BCDC，BADC90.CDF90.BCDF90，BEDF，BECDFC.CECF.图3(2)成立理由如下：成立理由如下：BECDFC，12.BCD90，GCE45.1345.2345，即，即GCF45.GCEGCF45，ECFC，GCGC，EGCFGC.EGFG.FGFDDGEBDG，EGEBDG.第3题答图42014鄂州鄂州在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图4放置，连接DE，BH，两线交于点M.求证：(1)BHDE；(2)BHDE.证明证明：(1)四边形四边形ABCD和四边形和四边形CEFH都是正方形，都是正方形，CBCD，CECH，BCDECH90.BCH90DCH，DCE90DCH.BCHDCE.在在BCH和和DCE中，中，图4CBCD，BCHDCE，CHCE，BCHDCE.BHDE.(2)如图，连接如图，连接BD.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，DBCBDC90.BCHDCE，CBHCDE.DBM BDM DBM CDE BDC DBM CBH BDCDBCBDC90.BMD180(DBMBDM)1809090.BHDE.第4题答图52014临临沂沂问题情境：如图5(1)，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM.(1)证明：AMADMC；(2)AMDEBM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图5(2)，(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明图5解解：(1)证法一：证法一：如答图如答图(1)，过，过E点作点作EFAM，垂足为，垂足为F，第5题答图(1)AE平分平分DAM，EDEF，在在RtAEF和和RtAED中，中，RtAEF RtAED，AFAD.连接连接ME，E是是CD边的中点，边的中点，EDCE.EDEF，CEEF，在在RtMEF和和RtMEC中，中，RtMEF RtMEC.FMCM.AMAFFM，AMADMC.证法二：证法二：如如答答图图(2)，把把ADE绕绕E点点顺顺时时针针旋旋转转180，使使DE和和CE重重合合第5题答图(2)点点A，E，A在在同同一一直直线线上上，点点M，C，A在在同同一一直直线线上上，DAEEAC，ADAC.AE平分平分DAM，DAEMAE.EACMAE.AMMA.MAMCCA，AMADMC.(2)如答图如答图(3)把把ADE绕绕A点顺时针旋转点顺时针旋转90，使，使AD和和AB重合重合DAEBAE，AEDE，DEEB.AE平分平分DAM，DAEMAE，ABCD，第5题答图(3)AEDBAE，BAEBAMMAE，BAEBAMBAE，BAEMAE，EMAE，AMEM，EMEBBM，AMDEBM.(3)AMADMC，成成立立与与(1)中中(证证法法二二)一一样样的的证证明明过过程程AMDEBM不成立不成立62014日日照照(1)如图6(1)，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE.求证：CECF；(2)如图6(2)，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用(1)的结论证明：GEBEGD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图6(3)，在四边形ABCD中，ADBC(BCAD)，B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE10，求四边形ABCD的面积解解：(1)证明：证明：四边形是四边形是ABCD正方形，正方形，BCCD，BADC90.FDC90.BFDC.BEDF，CBECDF.CECF.图6(2)证明：如图答图证明：如图答图(1)，延长，延长AD至点至点F，使，使DFBE，连接，连接CF.由由(1)知知CBECDF，BCEDCF.BCEECDDCFECD，即即ECFBCD90.又又GCE45，GCFGCE45.CECF，GCGC，ECGFCG.GEGF.GEGFDFGDBEGD.(3)如答图如答图(2)，过点，过点C作作CGAD，交，交AD延长线于点延长线于点G.在四边形在四边形ABCD中，中，ADBC，AB90，又又CGA90，ABBC，第6题答图(1)第6题答图(2)四边形四边形ABCG为正方形为正方形AGBC.DCE45，根据根据(1)(2)可知，可知，EDBEDG.104DG，即即DG6.设设ABx，则，则AEx4，ADx6，在在RtAED中，中，DE2AD2AE2，即，即102(x6)2(x4)2.解这个方程，得解这个方程，得x12或或x2(舍去舍去)AB12.即四边形即四边形ABCD的面积为的面积为108.