1、概率论和数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式，古典概型几何概型，其中为几何度量（长度、面积、体积）求逆公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(AB)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式 全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）两个事件相互独立；二、随机变量及其分布1、分布函数 2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律01分布二项分布泊松分布3、续型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数均匀分布 分布名称密度函数分布函数指数分布正态分布标准正态
2、分布4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：，连续型：分布函数法，公式法三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：分布函数边缘分布律： 条件分布律：，2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数：性质：边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： 密度函数： 条件概率密度，3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立，离散型： ，连续型：4、二维随机变量和函数的分布离散型：连续型：四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散
3、型，连续型性质：， ，当X、Y相互独立时：2、方差定义：性质：， 当X、Y相互独立时：3、协方差与相关系数协方差：，当X、Y相互独立时：相关系数： ，当X、Y相互独立时：(X,Y不相关)协方差和相关系数的性质：，4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1分布pp(1-p)二项分布npnp(1-p)泊松分布均匀分布正态分布指数分布五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若对于任意有2、大数定律： 切比雪夫大数定律：若相互独立，且，则：伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则，有：辛钦大数定律：若独立同分布，且，则
4、3、中心极限定理列维林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量，均值为，方差为，当n充分大时有：棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量，则对任意x有：近似计算：六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体，则样本的联合分布函数2、统计量样本均值：，样本方差：样本标准差： ，样本阶原点距：样本阶中心距：3、三大抽样分布(1)分布：设随机变量且相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记为性质：设且相互独立，则(2)分布：设随机变量，且X与Y独立，则称统计量：服从自由度为的分布，记为性质：(3)分布：设随机变量，且与独立，则称统计量服从第一自由度为m，第二自由度为n的分布，记为，性质：设，则七
5、、参数估计1.参数估计定义：用估计总体参数，称为的估计量，相应的为总体的估计值。当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法： 基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数，它的前k阶原点矩中包含了未知参数，即；又设为总体X的n个样本值，用样本矩代替，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数的矩估计量。注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3.点估计中的极大似然估计设取自的样本，设或， 求法步骤：似然函数： 取对数： 或解方程：，解得：4.估计量的评价标准估计量的评价标准无偏性设为未知参数的估计量。若E(）=，则
6、称 为的无偏估计量。有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如，有则称为的一致估计量（或相合估计量）。5. 单正态总体参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为的置信区间已知未知已知未知八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平，常取=0.05，0.01或0.10。基本步骤提出原假设H0；选择检验统计量；对于查表找分位数，使，从而定出拒绝域W；由样本观测值计算统计量实测值；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当
7、否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P拒绝H0|H0为真=； 第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：P接受H0|H1为真=。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。2.单正态总体均值和方差的假设检验条件原假设检验统计量统计量分布拒绝域已知未知未知或已知（少见）或
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