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数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题：
1、证明恒等式：
例1 已知、、、均为正数，且
求证：
分析：由自然联想到勾股定理。由可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略）
小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例2 已知：0＜＜1，0＜＜1. 求证
证明：如图，作边长为1的正方形ABCD，在AB上取点E，使AE=；在AD上取点G，使AG=，过E、G分别作EF//AD交CD于F；作GH//AB交BC于H。设EF与GH交于点O，连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.
由题设及作图知△、△、△、△均为直角三角形，因此
且
由于 所以：
当且仅当时，等号成立。
小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
3、求参数的值或参数的取值范围：
例3 若方程 （＞0）的两根满足：＜1，1＜＜3，求的取值范围。
解析：画出与方程对应的二次函数 （＞0）的草图：

由图可知：当=1时，＜0； 当=3时，＞0.
即 ＜0 ； ＞0.

解得：＜＜1.
例4 若关于的不等式 的解集仅有一个元素，求的值。
解：如图：在同一坐标系内，作出与的图象。题设条件等价于抛物线在直线与之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线上，故方程组 仅有一组解。
即
小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。
4、求最值问题：
例5 已知、均为正数，且求的最小值。
解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=，
EB=，过A作ACAB，且AC=2，过B作BDAB，且BD1。由勾股定理：CE=，BD=，原题即求CE+ED的最小值。
又如图，延长CA至G,使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF//AG且BF=AG，连接GF.
则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2
CE+DE的最小值是
即的最小值是
小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。
二、用代数与三角方法解决几何问题：
例6 如图，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证：
证法一：（三角法）因为，
证法二：（代数法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE
及S△ABC
＞
＞
,=.
综上：
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
例7 如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DEBC，EFAC，FDAB同时成立，求点D在AB上的位置.
A
D
E
F
C
B
分析：先假设符合条件的点 D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。
解：设AB=1，AD=
因为△ABC为正三角形，
且DEBC，EFAC，FDAB，
故 , ,
,
而 ,即
解得： 即点D位于AB边上分点处.
A
y
z
x
P
F
E
D
C
B
小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。
例8 如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC内的点P向△ABC的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）. 若求：的长.
解：设 ， ， ，则
， ，
连接PA、PB、PC.
在Rt△PBD和Rt△PFB中，
同理：
将以上三式相加，得：
……（1）
又已知： …………（2）
由（1）（2）得：
即
即