有理数的乘方、近似数及有效数字(包含一些培优)知识讲解.doc

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有理数的乘方
知识点一：有理数乘方的意义
　　求几个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫幂（power）．
要点诠释：
　　（1）一般地，n个a相乘，即记作，其中a叫底数，n叫指数，叫做a的n次幂或a 的n次方，用图表示为：

　　（2）乘方的运算：乘方是利用乘法来定义的．乘方是乘法的特例，所以乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
　　（3）乘方运算的符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何一个数的偶次幂都是非负数，如．

知识点二：有理数的混合运算
　　有理数的混合运算是本章的重点之一，由于它的综合性强，所以又是难点，结合教材理解有理数的混合运算包含哪几种运算，掌握有理数的运算顺序和运算律．
要点诠释：
　　（1）有理数的混合运算中含有加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算。
　　（2）有理数混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行．
　　（3）运算律的应用：①加法、乘法的所有运算律都能运用；②认真观察，选择恰当的运算律能简化运 算，提高运算能力．

知识点三：科学记数法
　　把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，l≤| a |<10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42 000 000＝4.2×。
要点诠释：
　　（1），a是整数数位只有一位的数，这一点要严格把握．
　　（2）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=．
　　（3）一个小于10的数也可以用科学记数法表示，这些内容将在今后的内容中加以介绍．
　　（4）在用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示结果也应带单位．
　　（5）在用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位少1，反之一个以科学记数法形式表示的数，其整数数位比10的指数多1．
知识点四：近似数与准确数
　　近似数：在实际问题中，由四舍五入得到的数或大约估计数，如取3.14，体重约54 kg，这里3.14和54都是近似数．
　　准确数：与实际相符的数，如一年有12个月，12就是准确数．
要点诠释：
　　（1）按要求取近似数时，采用的是四舍五入法，只要看要保留位数的下一位是舍还是入，与其它数位无关；对于比较大的数常用科学记数法表示．
　　（2）近似数就是与实际接近的数，出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千米；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10千克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。
知识点五：精确度
　　一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确度是指精确程度，如3.14精确到百分位，那么百分位就是精确度．精确度的表现形式有两种：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
　　注：近似数的精确度对结果影响很大，要根据实际需要决定近似数的精确度．
知识点六：有效数字
　　从一个数的左边第一个不为零的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
类型一：有理数的乘方概念
　　1.（1）3的3次方，记作______，其中底数是_______，指数是________。
　 　　　　（2）的4次方，记作______，其中底数是_______，指数是________。
　 　　　　（3）－2的5次方，记作_______，其中－2是________，5是________。

举一反三：
　　【变式1】24=2×2×2×2=________， （－1）3=______________=________
　　　　　　 (－4)3=___________=_____；(－2)4=___________=_____

【变式2】计算：

类型二：有理数的乘方的符号法则
　　2．(1)正数的________次幂都是正数，例如_______；负数的奇次幂是_______，例如 负数的偶次幂是________，例如_____________。

　　(2)当n为正整数时(－1)4n+1=_____，(－1)4n+2=_____．

举一反三：【变式1】与 （ ）
　　（A）相等 　（B） 互为相反数 　（C）互为倒数 　（D）可以是正数，也可以是负数

类型三：有理数的混合运算
　　3．计算：

举一反三：
　　【变式1】计算．

类型四：科学记数法的应用
　　4．太阳是一个巨大的能源库，已知1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108kg煤所产生的能量，那么我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧a×10nkg煤．请利用所提供的材料，计算a，n的值分别是多少?

举一反三：
　　【变式1】（2011江西）.根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，广东省常住人口约为10430万人.这个数据可以用科学计数法表示为（ ）.
　　A. 1.043×108人 　　　B. 1.043×107人　　 C．1.043×104人 　　D. 1043×105人

类型五：近似数和有效数字
　　5．下列是由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位各有几个有效数字?
　　（1）15.28； （2）3.6万； （3）0.0403； （4）1.10×104．　　

举一反三：
　　【变式1】世界上最大的沙漠——非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一个长方体，撒哈拉沙漠的长度大约是5149900米，砂层的深度大约是3.66米，已知撒哈拉沙漠中的沙的体积约为33345立方千米，（1）将沙漠的沙子的体积表示成立方米（保留2个有效数字）；（2）沙漠的宽度是多少？(3)如果一粒沙子的体积是0.0368立方毫米，那么撒哈拉沙漠中有多少粒沙子？（保留3个有效数字）

【变式2】用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值．
　　（1）3.708 49（精确到0.001）；
　　（2）1.996（精确到百分位）；
　　（3）0.0692（精确到千分位）；
　　（4）30546（保留两个有效数字）；
　　（5）5.04×104（精确到千位）．

有理数的提高：
1. 已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。

2.三个互不相等的有理数，既可以表示为 1, a+b, a的形式，也可以表示为0, , b 的形式,试求 a2001+b2002 的值，并说明理由

3.有理数均不为0，且设试求代数式2000之值

4.已知a、b、c为实数，且
求的值

5.对于任意非零有理数a、b，定义运算如下：，求的值。

6.有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：.
O
a
b
c

7.我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义。进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a—b|。(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和5 的两点之间的距离是____ 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______；
(2) 数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______,
如果|AB|=2，那么x的值为_____;
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义__________________________________,当x取何值时，该式取值最小：_____________.
（4）求|x－1|+|x－2|+|x－3|+…+|x－2009|的最小值。

练习：
（1）、× （2）、 ＋ （3） ××

（4）、×－ （5）、＋＋

（6）、 －×－ （7）、 －+

（8）、0－÷3× （9）、 ×÷

（10）、 －×－÷ （11）、×(－＋1) ×0

（12）、 6+× （13）、 －10+8÷－4×3

有理数提高训练
一、 选择题
1、下列语句中，正确的是（　　）
Ａ．是最小的正有理数 Ｂ．是最大的非正整数
Ｃ．是最大的负有理数 Ｄ．有最小的正整数和最小的正有理数
2．点在数轴上距离原点个单位长度，将向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时点表示的数是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
3．已知是有理数，则下列判断：①是正数；②是负数；③与必然有一个负数；④与互为相反数．其中正确的个数是（　　）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
4．已知有理数a、b在数轴上对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A. ab＞0 B. ︱a︱＞︱b︱ C. a－b＞0 D. a＋b＞0
5．一个有理数的偶次方是正数，那么这个有理数的奇次方是（　　）
Ａ．正数Ｂ．负数Ｃ．正数或负数 Ｄ．无法判定
6．若ab≠0，则＋的取值不可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. －2
　7．有以下两个结论：①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则（ ）
A. ①，②都不对 B. ①对，②不对
C. ①，②都对 D. ①不对，②对
　8．下列说法正确的个数是(     )
①一个有理数不是整数就是分数　　　②一个有理数不是正数就是负数
③一个整数不是正的，就是负的　　　④一个分数不是正的，就是负的
A 1  　　 B 2  　　 C 3 　　  D 4 
9.若a+b＜0,ab＜0,则(     )
A  a＞0,b＞0   　　　　　B  a＜0,b＜0
C  a,b两数一正一负，且正数绝对值大于负数的绝对值
D  a,b两数一正一负，且负数绝对值大于正数的绝对值
10.已知：a> 0 b<0 |a| < |b| <1那么以下判断正确的是（ ）.
Ａ1－b >－b>1+a>a Ｂ1+a > a >1－b>－b
Ｃ1+a > 1－b >a>－b Ｄ1－b >1+ a>－b>a
13．若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示, 则|c|-|b-a|+|b+c|等于( ).
A．-a B．-a+2b C．-a-2c D．a2b

14．已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数、1、
－1，那么表示---------（　 ）
A．A、B两点的距离　　　　　　B．A、C两点的距离
C．A、B两点到原点的距离之和　　D．A、C两点到原点的距离之和
15．有理数a 等于它的倒数，则a2004是（　 ）
Ａ.最大的负数　　Ｂ.最小的非负数
Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数
16． (－0.125)2003×(－8)2004的值为（　 ）
　A.－4　 　　B.4　　 　C.－8　　 　 D.8
17.若m＜0,n＞0,m+n＜0,则m,n,-m,-n这四个数的大小关系是（　　）
A.m＞n＞－n>－m B.－m＞n＞－n＞m
C.m＞－m＞n＞－n D.－m＞－n＞n＞m
二、填空题
18.若那么2a一定是               。
19．若0＜a＜1,则a,a2,的大小关系是               。
20．规定a﹡b=5a+2b-1,则(-4)﹡6的值为               。
21．已知=3，=2，且ab＜0,则a-b=               。
22．已知a=25,b= -3,则a99+b100的末位数字是               。
23.已知，且，则___________．
24.与互为相反数，则___________．
25.定义，则___________．
26.已知有理数，，满足，则___________．
27.已知且a＞b＞c，a＋b＋c=
28、若1＜a＜3，=

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