有理数及其运算知识点及练习讲课稿.doc

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一对一授课讲义
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授课内容
有理数及其运算

1

基
础
知
识
2

题型讲解

知识点1：有理数的概念及其分类
（1） 整数可以分为正整数，零，负整数
（2） 分数可以分为正分数和负分数
（3） 整数和分数统称为有理数
例1.把下列各数填入相应的大括号内
0.05,1,-,-126,72.1,0,-12％,,+729,-628,3,3. ,-1000.01
（1）正整数集合：（ ）
（2）负分数集合：（ ）
（3）整数集合：（ ）
（4）非负数集合：（ ）
知识点2：数轴
(1)数轴的 三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
(2)任何一个有理数，都可以用数轴上的 一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）
(3)如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的 相反数是0）
(4)在数轴上，表示互为相反数的 两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
(5)数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。
例1.如果数和在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（　　）
（Ａ）　　（Ｂ）　（Ｃ（Ｄ）　
例2.已知a是最小的正整数，b的相反数还是它本身，c比最大的负整数大3，计算（2a+3c）b的值

知识点3：绝对值
1. 绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。
2. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
0
-1
-2
-3
1
2
3
越来越大
或
3.绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0
4.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：
①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
5.绝对值的性质：
①对任何有理数a，都有|a|≥0；②若|a|=0，则a|=0，反之亦然；③若|a|=b，则a=±b；④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
例1.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ）
例2.绝对值最小的数是（ ）例3.=（ ）
例4.若，则a=（ ）
例5.已知的值。

例6.已知x=8，y=-4，求的值

知识点4：有理数的加法
㈠ 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值③一个数同0相加，仍得这个数。
㈡ 加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
㈢灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。
例1.下列结论不正确的是（ ）
A.若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B.若a＜0，b＜0，则a+b＜0
C.若a＞0，b＜0，则＞，则a+b＜0 D.若a＜0，b＞0，且＞，则a+b＜0
例2.已知a的相反数是，b的绝对值为4，c是最大的非正数，求a+b+c的值。

例3.已知=5，=6，且a＞b，求a+b的值

知识点5：有理数的减法
㈠ 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
㈡有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。
例1.若=0，则( )
A． x=y B．x=-y C．x=y=0 D．x=y或x=-y
例2. =5，=8且=-（a+b）求a-b的值

例3.思考题已知a，b，c都是有理数，且满足，求代数式的值。
知识点6：有理数的混合运算
有理数的加减法混合运算的 步骤：
①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相数。）
例1.已知=3，=1，，且，求a-b+c的值

例2.若数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c且点c在点A，B，之间，试说明

知识点7：有理数的乘法
㈠有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘，积仍为0。㈡如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。
㈡ 乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
㈣有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；
②求出各因数的绝对值的积。
㈤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：①零没有倒数②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
例1.已知a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求的值

例2.已知：a与b互为相反数，x与y互为倒数，=5，求：m（a+b）+xy-2m

知识点8：有理数的除法
㈠有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。②0除以任何非0的 数都得0。0不可作为除数，否则无意义。
例1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，
例2.用字母x，y，z表示任一数，若＜0，＞0，则（ ）0
例3.已知非零的有理数a，b，c，满足（ ）
指数
底数
幂
知识点9：有理数的乘方
㈠ 有理数的 乘方
㈡注意：①一个数可以看作是本身的 一次方，如5=51；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
㈢乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
例1.（1）已知：的值
（2）已知，y的平方等于16，求的值

例2.若，求代数式5x+4y-2a的值

知识点10：有理数的混合运算及科学记数法
㈠有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。
②如果有括号,先算括号里面的 。
㈡科学记数法：一般地，一个大于10的 数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
例1.（1）（-10
（2）
（3）
例2.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的值

例3.已知的值

例4.若（a+1）的值

例5.用科学记数法表示下列各数
（1）579 900 000 （2）5 900 000 000
（3）350 000 000 （4）0.000 005 13

3

随
堂
练
习

1.把下列各数填入分别填在相应的大括号内
1,-,8.9,,-3.2,+1008,∏,-0.05,0,-9,28
正整数集合：（ ）
负整数集合：（ ）
正分数集合：（ ）
负分数集合：（ ）
2.在数轴上距离原点为2的点所对应的数为（ ），它们互为（ ）
3.已知m与n互为倒数，a与b互为相反数，c的绝对值为3，求amn-5c+b的值

4.（1）-7×
(2)-1
(3)-

5.用科学记数法表示下列各数
（1）3 690 000 （2）0.097 （3）300 000 000

4

课
后
作
业

1.把下列各数填到相应的大括号里
-1， 4.3， +72， 0， ， -6.4， -12， ， 26， ， ， .
整数集合： ……
正数集合： ……
负数集合： ……
非负整数集合： …
自然数集合： ……
正分数集合： ……
负整数集合： ……
2.　的相反数大于本身，　　的相反数等于本身，　　的相反数小于本身．
3.如图，是数轴的是（　　）

（Ａ）　　　 （Ｂ）　　　　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）
4.如果数和在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（　　）
（Ａ）　（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
5.如果，那么是　　　　，如果，那么是　　　　　　　．
6.若≤０，则　　　　　；若≥０，则　　　　　　．
7.设，，是１的相反数，则的大小关系是（　　）
（Ａ） 　　（Ｂ） 　　（Ｃ） 　　（Ｄ）
8.若一个数的绝对值是３，且在数轴上的位置如图所示，试求的相反数．

9.若，给出下面4个结论：①；②；③；④．其中不正确的有
10.若，则 1；若，则 1；
若，则 ；若，则 ．
11.已知，且有理数在数轴上的位置如图所示，计算的值．
12.已知，，且，求的值．
13.若则　　　　　　　　　　．
14.（1）若，则　　0；（2）若，则　　　0；
（3）若，且，则　　　　0；
（4）若，且，则　　　　0．
15.已知，且，则　　　　　．
16.已知，则的相反数是　　　　　．
17.若互为相反数，互为倒数，则　　　　　．
18.(1)

(2).；

(3). ．

18.（用“＞”“＜”或“＝”号填空）如果，那么　　　０；如果，那么　　　０；如果，那么　　　０．
19.当　　　　时，；当　　　　时，．
20.若，则　　　　　　．
21.（1）；　 （2）

（3） （4）；

（5）； (6)；

（7）．

只供学习与交流