河南省信阳市高考数学二模试卷(文科)演示教学.doc

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2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数的实部与虚部分别为（　　）
A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i
2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（　　）
A．{﹣1，2} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}
3．（5分）已知命题p：∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0，则￢p为（　　）
A．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0
C．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C．或2 D．或2
5．（5分）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（　　）
A．y=x+f（x） B．y=xf（x C．y=x2+f（x） D．y=x2f（x）
7．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（　　）
A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y的值为5，则判断框中可以填入的条件是（　　）

A．i＜6？ B．i＜5？ C．i＜4？ D．i＜3？
9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则B等于（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知x=﹣与x0分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一条对称轴和零点，且|x0+|min=，则φ等于（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=8﹣f（4+x），函数g（x）=，若函数f（x）与g（x）的图象共有168个交点，记作Pi（xi，yi）（i=1，2，…，168），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x168+y168）的值为（　　）
A．2018 B．2017 C．2016 D．1008

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（5分）设向量=（1，﹣2），+=（0，2），则|﹣2|=　 　．
14．（5分）已知椭圆C：x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=　 　．
15．（5分）直线ax+by+c=0与圆C：x2﹣2x+y2+4y=0相交于A，B两点，且||=，则•=　 　．
16．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是　 　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=4，b=，求△ABC的面积．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=45，S6=60．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*），且b1=3，求的前n项和Tn．
19．（12分）某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5
（1）试求y关于x的回归直线方程：（参考公式：=，=﹣．）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？
20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．
（1）求C的方程；
（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．
（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．

选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．
（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．

2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数的实部与虚部分别为（　　）
A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i
【解答】解：=，
∴z的实部与虚部分别为7，﹣3．
故选：A．

2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（　　）
A．{﹣1，2} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}
【解答】解：∵A={x|x＜﹣或x＞1}，全集U=R，
∴∁UA={x|﹣≤x≤1}，
∵B={﹣1，0，1，2}，
∴由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁UA）={0，1}．
故选：C．

3．（5分）已知命题p：∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0，则￢p为（　　）
A．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0
C．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0，则￢p为∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0．
故选：C．

4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C．或2 D．或2
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），
可得，即，可得，解得e=．
故选：A．

5．（5分）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，
当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，
∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：
P=．
故选：A．

6．（5分）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（　　）
A．y=x+f（x） B．y=xf（x） C．y=x2+f（x） D．y=x2f（x）
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
对于A，g（﹣x）=﹣x+f（﹣x）=﹣x﹣f（x）=﹣g（x），
∴y=x+f（x）是奇函数．
对于B，g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），
∴y=xf（x）是偶函数．
对于C，g（﹣x）=（﹣x）2+f（﹣x）=x2﹣f（x），
∴y=x2+f（x）为非奇非偶函数，
对于D，g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）=﹣g（x），
∴y=x2f（x）是奇函数．
故选：B．

7．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（　　）
A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和Sn，且a1+a3=，a2+a4=，
∴两式相除可得公比q=，
∴a1=2，
∴an==，Sn==4（1﹣），
∴=2n﹣1，
故选：D．

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y的值为5，则判断框中可以填入的条件是（　　）

A．i＜6？ B．i＜5？ C．i＜4？ D．i＜3？
【解答】解：模拟执行程序，可得
x=1，y=1，i=1
满足条件，执行循环体，y=2，x=1，i=2
满足条件，执行循环体，y=3，x=2，i=3
满足条件，执行循环体，y=5，x3，i=4
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出y的值为5．
故判断框中可填入的条件是i≤3？或i＜4？．
故选：C．

9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；
所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．
故选：B．

10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则B等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：△ABC中，asinBcosC+csinBcosA=b，
由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，且sinB≠0，
∴sinAcosC+sinCcosA=，
∴sin（A+C）=；
又A+B+C=π，
∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=；
又a＞b，
∴B=．
故选：D．

11．（5分）已知x=﹣与x0分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一条对称轴和零点，且|x0+|min=，则φ等于（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：x=﹣与x0分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一条对称轴和零点，
则：①，
ω•x0+φ=kπ②，
②﹣①得：ω|ω•x0+φ|=，
由于：|x0+|min=，
解得：ω=2．
故：（k∈Z），
解得：φ=（k∈Z），
当k=﹣1时，．
故选：B．

12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=8﹣f（4+x），函数g（x）=，若函数f（x）与g（x）的图象共有168个交点，记作Pi（xi，yi）（i=1，2，…，168），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x168+y168）的值为（　　）
A．2018 B．2017 C．2016 D．1008
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=8﹣f（4+x），
可得：f（﹣x）+f（4+x）=8，即函数f（x）关于点（2，4）对称，
函数g（x）===4+可知图象关于（2，4）对称；
∴函数f（x）与g（x）的图象共有168个交点即在（2，4）两边各有84个交点．
而每个对称点都有：x1+x2=4，y1+y2=8，
∵有168个交点，即有84组．
故得：（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x168+y168）=（4+8）×84=1008．
故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（5分）设向量=（1，﹣2），+=（0，2），则|﹣2|=　　．
【解答】解：根据题意，向量=（1，﹣2），+=（0，2），
则=+﹣=（﹣1，4），
则﹣2=（3，﹣10），
则|﹣2|==；
故答案为：．

14．（5分）已知椭圆C：x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=　　．
【解答】解：根据题意，椭圆C：x2+my2=1的焦点在y轴上，则其标准方程为：+=1，
其中a=，b=1，
若长轴长是短轴长的两倍，则a=2b，
则有=2，
解可得m=；
故答案为：．

15．（5分）直线ax+by+c=0与圆C：x2﹣2x+y2+4y=0相交于A，B两点，且||=，则•=　﹣　．
【解答解：圆C：x2﹣2x+y2+4y=0⇔（x﹣1）2+（y+2）2=5，
如图，过C作CD⊥AB于D，AB=2AD=2AC•sin∠CAD，
∴，∴∠CAD=30°，
∴∠ACB=120°，则•==﹣．

故答案为：﹣．

16．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是　30万元　．
【解答】解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

再设分别生产甲、乙两种肥料各x、y车皮产生的利润为z=10000x+5000y=5000（2x+y），
由得两直线的交点M（2，2）．
令t=2x+y，当直线L：y=﹣2x+t经过点M（2，2）时，它在y轴上的截距有最大值为6，此时z=30000．
故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30万元．
故答案为：30万元．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=4，b=，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵且acosB+bsinA=0．
由正弦定理可得：sinAcosB+sinAsinB=0
∵sinA≠0，∴sinB=﹣cosB，∴tanB=﹣．
∴B=120°．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣ac，
∵a+c=4，b=，∴ac=3．
∴△ABC的面积S=．

18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=45，S6=60．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*），且b1=3，求的前n项和Tn．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵S5=45，S6=60．
∴=45，d=60，
解得a1=5，d=2．
∴an=5+2（n﹣1）=2n+3．
（II）bn+1﹣bn=an=2n+3，且b1=3，
∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1
=2（n﹣1）+3+2（n﹣2）+3+…+2×1+3+3
==n2+2n．
∴==．
∴的前n项和Tn=+…+
==．

19．（12分）某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5
（1）试求y关于x的回归直线方程：（参考公式：=，=﹣．）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？
【解答】解：（1）由已知：，
则 ，
所以回归直线的方程为．
（2）z=﹣1.45x+18.7﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）
=﹣0.052x2+0.3x+1.5
=﹣0.05x﹣3）2+1.95，
所以预测当x=3时，销售利润z取得最大值．

20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．
（1）求C的方程；
（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=y1+y2+p=2p，
又∵以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切，
∴|FN|=|AB|=+1，即|AB|=p+2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为x2=4y．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y中，
化简整理得x2﹣4kx﹣4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
∴，
∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），
∵圆M与直线相切于点Q，
∴|MQ|=|MN|，
∴，解得，
此时直线l的方程为，即x﹣2y+2=0，
圆心，半径，
∴圆M的方程为．

21．（12分）已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．
（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+﹣a，
则y=xf（x）=4x3+1﹣ax的导数为y′=12x2﹣a，
由题意可得12﹣a=0，解得a=12，
即有f（x）=4x2+﹣12，
f′（x）=8x﹣，
可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x﹣1），
即为y=7x﹣14；
（2）由f（x）=4x2+﹣a，导数f′（x）=8x﹣，
当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得x=处取得极小值，且为3﹣a，
由f（x）有两个零点，可得3﹣a=0，即a=3，零点分别为﹣1，．
令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=﹣1或，
则f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b，
由题意可得f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，
则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，
可得b＜﹣1，即有a+b＜2．
则a+b的范围是（﹣∞，2）．

选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．
（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（其中t为参数），
转化为直角坐标方程为：x﹣y+1=0．
曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，转化为直角坐标方程为：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：C1的参数方程为：（θ为参数）．
所以：点P到直线l的距离d==，
则：，
此时：cos（）=1，
解得：（k∈Z）．
所以：，

故P（）到直线l的距离最大．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|=，
当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，
所以﹣3≤f（x）≤3，
∴m≥﹣3；
（Ⅱ）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，
即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，
当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；
当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，
即x2﹣10x+22≤0，∴5﹣≤x＜5；
当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，
即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；
综上，原不等式的解集为{x|5﹣≤x≤6}．

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