1、此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除2015年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)1(5分)(2015浙江)已知集合P=x|x22x0,Q=x|1x2,则(RP)Q=()A0,1)B(0,2C(1,2)D1,22(5分)(2015浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A8cm3B12cm3CD3(5分)(2015浙江)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()Aa1d0,dS40Ba1d0,dS40Ca1d0,dS4
2、0Da1d0,dS404(5分)(2015浙江)命题“nN*,f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()AnN*,f(n)N*且f(n)nBnN*,f(n)N*或f(n)nCn0N*,f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*,f(n0)N*或f(n0)n05(5分)(2015浙江)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()ABCD6(5分)(2015浙江)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(AB)card(AB),其中card(A)表示有限集A中的元素个数()命题:对任意有限
3、集A,B,“AB”是“d(A,B)0”的充分必要条件;命题:对任意有限集A,B,C,d(A,C)d(A,B)+d(B,C)A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立,命题不成立D命题不成立,命题成立7(5分)(2015浙江)存在函数f(x)满足,对任意xR都有()Af(sin2x)=sinxBf(sin2x)=x2+xCf(x2+1)=|x+1|Df(x2+2x)=|x+1|8(5分)(2015浙江)如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD折成ACD,所成二面角ACDB的平面角为,则()AADBBADBCACBDACB二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分
4、,共36分9(6分)(2015浙江)双曲线=1的焦距是,渐近线方程是10(6分)(2015浙江)已知函数f(x)=,则f(f(3)=,f(x)的最小值是11(6分)(2015浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是12(4分)(2015浙江)若a=log43,则2a+2a=13(4分)(2015浙江)如图,三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是14(4分)(2015浙江)若实数x,y满足x2+y21,则|2x+y2|+|6x3y|的最小值是15(6分)(201
5、5浙江)已知是空间单位向量,若空间向量满足,且对于任意x,yR,则x0=,y0=,|=三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(14分)(2015浙江)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2a2=c2(1)求tanC的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值17(15分)(2015浙江)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点(1)证明:A1D平面A1BC;(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值18(15分)(2015浙江)已知函数f(
6、x)=x2+ax+b(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间1,1上的最大值(1)证明:当|a|2时,M(a,b)2;(2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值19(15分)(2015浙江)已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)20(15分)(2015浙江)已知数列an满足a1=且an+1=anan2(nN*)(1)证明:12(nN*);(2)设数列an2的前n项和为Sn,证明(nN*)2015年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2
7、015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)1(5分)考点:交、并、补集的混合运算菁优网版权所有专题:集合分析:求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可解答:解:由P中不等式变形得:x(x2)0,解得:x0或x2,即P=(,02,+),RP=(0,2),Q=(1,2,(RP)Q=(1,2),故选:C点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键2(5分)考点:由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离分析:判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可解答:解:由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边
8、长2的正方形奥为2的正四棱锥,所求几何体的体积为:23+222=故选:C点评:本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力3(5分)考点:等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列分析:由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断a1d和dS4的符号解答:解:设等差数列an的首项为a1,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,由a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:d0,=0故选:B点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题4(5分)考点:命题的否定菁优网版权所有专题:简易逻辑分析:
9、根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0,故选:D点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础5(5分)考点:直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可解答:解:如图所示,抛物线的准线DE的方程为x=1,过A,B分别作AEDE于E,交y轴于N,BDDE于E,交y轴于M,由抛物线的定义知BF=BD,AF=AE,则|BM|=|BD|1=|BF|1,|AN|=|AE|1=|AF|1,则=,故选:A点评:本题主要考查三角形的面积
10、关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键6(5分)考点:复合命题的真假菁优网版权所有专题:集合;简易逻辑分析:命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可,借助新定义,根据集合的运算,判断即可解答:解:命题:对任意有限集A,B,若“AB”,则ABAB,则card(AB)card(AB),故“d(A,B)0”成立,若d(A,B)0”,则card(AB)card(AB),则ABAB,故AB成立,故命题成立,命题,d(A,B)=card(AB)card(AB),d(B,C)=card(BC)card(BC),d(A,B)+d(B,C)=card(AB)card(AB)+card(BC)card(B
11、C)=card(AB)+card(BC)card(AB)+card(BC)card(AC)card(AC)=d(A,C),故命题成立,故选:A点评:本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题7(5分)考点:函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有专题:函数的性质及应用分析:利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可解答:解:A取x=0,则sin2x=0,f(0)=0;取x=,则sin2x=0,f(0)=1;f(0)=0,和1,不符合函数的定
12、义;不存在函数f(x),对任意xR都有f(sin2x)=sinx;B取x=0,则f(0)=0;取x=,则f(0)=2+;f(0)有两个值,不符合函数的定义;该选项错误; C取x=1,则f(2)=2,取x=1,则f(2)=0;这样f(2)有两个值,不符合函数的定义;该选项错误;D令|x+1|=t,t0,则f(t21)=t;令t21=x,则t=;即存在函数f(x)=,对任意xR,都有f(x2+2x)=|x+1|;该选项正确故选:D点评:本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难8(5分)考点:二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题:创新题型;空间角分析:解:画出图形
13、,分AC=BC,ACBC两种情况讨论即可解答:解:当AC=BC时,ADB=;当ACBC时,如图,点A投影在AE上,=AOE,连结AA,易得ADAAOA,ADBAOE,即ADB综上所述,ADB,故选:B点评:本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分9(6分)考点:双曲线的简单性质菁优网版权所有专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程解答:解:双曲线=1中,a=,b=1,c=,焦距是2c=2,渐近线方程是y=x故答案为:2;y=x点评:本题考查双曲线的方程与性质,
14、考查学生的计算能力,比较基础10(6分)考点:函数的值菁优网版权所有专题:计算题;函数的性质及应用分析:根据已知函数可先求f(3)=1,然后代入可求f(f(3);由于x1时,f(x)=,当x1时,f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的取值范围,即可求解解答:解:f(x)=,f(3)=lg10=1,则f(f(3)=f(1)=0,当x1时,f(x)=,即最小值,当x1时,x2+11,(x)=lg(x2+1)0最小值0,故f(x)的最小值是故答案为:0;点评:本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题11(6分)考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性菁
15、优网版权所有专题:三角函数的求值分析:由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x)+,易得最小正周期,解不等式2k+2x2k+可得函数的单调递减区间解答:解:化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1=(1cos2x)+sin2x+1=sin(2x)+,原函数的最小正周期为T=,由2k+2x2k+可得k+xk+,函数的单调递减区间为k+,k+(kZ)故答案为:;k+,k+(kZ)点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题12(4分)考点:对数的运算性质菁优网版权所有专题:函数的性质及应用分析:直接把a代入2a+2a,然后利用对数的运算性质得答案解答:解:a=
16、log43,可知4a=3,即2a=,所以2a+2a=+=故答案为:点评:本题考查对数的运算性质,是基础的计算题13(4分)考点:异面直线及其所成的角菁优网版权所有专题:空间角分析:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是EMC通过解三角形,求解即可解答:解:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME,则MEAN,异面直线AN,CM所成的角就是EMC,AN=2,ME=EN,MC=2,又ENNC,EC=,cosEMC=故答案为:点评:本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力14(4分)考点:函数的最值及其几何意义菁优网版权所有专题:不等式的解法及应
17、用;直线与圆分析:根据所给x,y的范围,可得|6x3y|=6x3y,再讨论直线2x+y2=0将圆x2+y2=1分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值解答:解:由x2+y21,可得6x3y0,即|6x3y|=6x3y,如图直线2x+y2=0将圆x2+y2=1分成两部分,在直线的上方(含直线),即有2x+y20,即|2+y2|=2x+y2,此时|2x+y2|+|6x3y|=(2x+y2)+(6x3y)=x2y+4,利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3;在直线的下方(含直线),即有2x+y20,即|2+y2|=(2x+y2),此时|2x+y2|+|6x3y|=(2x+y
18、2)+(6x3y)=83x4y,利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3综上可得,当x=,y=时,|2x+y2|+|6x3y|的最小值为3故答案为:3点评:本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题15(6分)考点:空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题:创新题型;空间向量及应用分析:由题意和数量积的运算可得=,不妨设=(,0),=(1,0,0),由已知可解=(,t),可得|(|2=(x+)2+(y2)2+t2,由题意可得当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y2)2+t2取最小值1,由模长公式可得|解答:解:=|cos=co
19、s=,=,不妨设=(,0),=(1,0,0),=(m,n,t),则由题意可知=m+n=2,=m=,解得m=,n=,=(,t),()=(xy,t),|(|2=(xy)2+()2+t2=x2+xy+y24x5y+t2+7=(x+)2+(y2)2+t2,由题意当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y2)2+t2取最小值1,此时t2=1,故|=2故答案为:1;2;2点评:本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(14分)考点:余弦定理菁优网版权所有专题:解三角形分析:(1)由余弦定理可得:,已知b2a2
20、=c2可得,a=利用余弦定理可得cosC可得sinC=,即可得出tanC=(2)由=3,可得c,即可得出b解答:解:(1)A=,由余弦定理可得:,b2a2=bcc2,又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得,a2=b2=,即a=cosC=C(0,),sinC=tanC=2(2)=3,解得c=2=3点评:本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题17(15分)考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离;空间角分析:(1)以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴
21、建系,通过=0及线面垂直的判定定理即得结论;(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可解答:(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系则BC=AC=2,A1O=,易知A1(0,0,),B(,0,0),C(,0,0),A(0,0),D(0,),B1(,),=(0,0),=(,),=(,0,0),=(2,0,0),=(0,0,),=0,A1DOA1,又=0,A1DBC,又OA1BC=O,A1D平面A1BC;(2)解:设平面A1BD的法向量为=(x,y,z),由,得,取z=1,得=(,0,1),
22、设平面B1BD的法向量为=(x,y,z),由,得,取z=1,得=(0,1),cos,=,又该二面角为钝角,二面角A1BDB1的平面角的余弦值为点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题18(15分)考点:二次函数在闭区间上的最值菁优网版权所有专题:函数的性质及应用分析:(1)明确二次函数的对称轴,区间的端点值,由a的范围明确函数的单调性,结合已知以及三角不等式变形所求得到证明;(2)讨论a=b=0以及分析M(a,b)2得到3a+b1且3ba1,进一步求出|a|+|b|的求值解答:解:(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(1)=1a+b,
23、对称轴为x=,因为|a|2,所以或1,所以函数f(x)在1,1上单调,所以M(a,b)=max|f(1),|f(1)|=max|1+a+b|,|1a+b|,所以M(a,b)(|1+a+b|+|1a+b|)|(1+a+b)(1a+b)|2a|2;(2)当a=b=0时,|a|+|b|=0又|a|+|b|0,所以0为最小值,符合题意;又对任意x1,1有2x2+ax+b2得到3a+b1且3ba1,易知|a|+|b|=max|ab|,|a+b|=3,在b=1,a=2时符合题意,所以|a|+|b|的最大值为3点评:本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解M(a,b)是|f(x)|在区
24、间1,1上的最大值,以及利用三角不等式变形19(15分)考点:直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题:创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题分析:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=my+n,代入椭圆方程可得(m2+2)y22mny+n22=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)可得0,设线段AB的中点P(x0,y0),利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx+,可得,代入0,即可解出(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,可得SOAB=,再利用均值不等式即可得出解答:解:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=my+n,代入椭圆方程,可得(m2+2)y22mny+n22=0,设A(
25、x1,y1),B(x2,y2)由题意,=4m2n24(m2+2)(n22)=8(m2n2+2)0,设线段AB的中点P(x0,y0),则x0=m+n=,由于点P在直线y=mx+上,=+,代入0,可得3m4+4m240,解得m2,或m(2)直线AB与x轴交点纵坐标为n,SOAB=|n|=,由均值不等式可得:n2(m2n2+2)=,SAOB=,当且仅当n2=m2n2+2,即2n2=m2+2,又,解得m=,当且仅当m=时,SAOB取得最大值为点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、
26、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题20(15分)考点:数列的求和;数列与不等式的综合菁优网版权所有专题:创新题型;点列、递归数列与数学归纳法分析:(1)通过题意易得0an(nN*),利用anan+1=可得1,利用=2,即得结论;(2)通过=anan+1累加得Sn=an+1,利用数学归纳法可证明an(n2),从而,化简即得结论解答:证明:(1)由题意可知:0an(nN*),又a2=a1=,=2,又anan+1=,anan+1,1,=2,12(nN*);(2)由已知,=anan+1,=an1an,=a1a2,累加,得Sn=+=a1an+1=an+1,易知当n=1时,要证式子显然成立;当n2时,=下面证明:an(n2)易知当n=2时成立,假设当n=k时也成立,则ak+1=+,由二次函数单调性知:an+1+=,an+1+=,即当n=k+1时仍然成立,故对n2,均有an,=,即(nN*)点评:本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题只供学习与交流
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