高中数学教学中立体几何解题技巧的分析与探讨.pdf

高中数学教学中立体几何解题技巧的分析与探讨赵亚茹(安徽省濉溪中学 2 3 5 1 0 0)【摘要】立体几何属于高中数学课程体系中的重点知识,还是一大难点,因为学生之前接触的几何知识都是以平面为主,无须考点、线、面之间的空间关系.而立体几何类题目灵活多变,既要考虑平面关系,还要分析空间位置,对学生的空间观念有着较高要求.在高中数学教学中,教师需围绕立体几何开设专题训练,帮助学生掌握相应的解题技巧.本文针对高中数学教学中立体几何解题技巧进行分析与探讨,并罗列部分解题实例以供参考.【关键词】高中数学;立体几何;解题技巧在数学学习过程中,平面几何习题难度相对一般,随着立体几何教学的推进,习题难度也在不断提升,往往涉及各种几何概念与定理,以及各种几何图形的组合与分割技巧,假如学生的空间想象能力不强,他们就极易陷入解题困境中,很难理解与分析题目.高中数学教师在平常教学中应高度重视立体几何解析题技巧的研究,带领学生开设立体几何解题训练活动,使其不断积累解题经验和技巧,让他们能够做到举一反三,思维变得更加灵活1.1 用分类讨论技巧,解答立体几何试题在高中数学立体几何解题教学中,部分题目的结论并非唯一确定的,有些题目的结论则在解题过程中无法采用统一的形式展开研究,这时就要根据题目的特点与要求,分成若干个类别,转变成多个小问题进行解题,即为对分类讨论思想的应用.因此,高中生处理立体几何题时首先需认真阅读题目内容,仔细审题后充分理解题意,分析满足题干中条件的所有可能,然后画出相应的草图加以辅助分析,最终通过分类讨论保证思考问题的全面性2.例1 已知一个斜三棱柱A B C-A1B1C1的底面是直角三角形,其中B A C是一个直角,且B C1A C,A B=A C=2,B C1=26,侧棱与底面成6 0 角,那么该斜三棱柱的体积是多大?解析 学生通过认真审题,发现结合题干中的描述无法准确判断出点C1在直线A B上的具体问题,所以要用到分类讨论思想,对可能出现的几种情况均进行分析和研究,找出符合条件的情况,最终得到全面的答案.具体解题方式如下:由于B A C是直角,故A C与A B是垂直关系,又因为B C1A C,则A B与B C1的公共点是点B,那么A C平面A B C1,平面A B C与平面A B C1也是垂直关系,所以点C1在平面A B C上的射影在直线A B上面,过点C1作C1HB A于点H,设C1H=x,下面进行分类讨论,(1)如果点H在线段B A的延长线上面,把CH,B C1连接起来,则C1CH=6 0,CH=33x,在直角三角形A C H中,容易得到AH=13x2-4,在直角三角形B C1H中,结合勾股定理可得BH2+C1H2=B C21,则x=1 5,该斜三棱柱的体积V=1 51222=2 1 5.(2)如果点H位于A B上面,在直角三角形B C1H中结合勾股定理可以得到x=26,这时点H与点B是重合的,则V=2 61222=4 6.(3)如果点H位于线段A B的延长线上面,在直角三角形B C1H中无法求得x的值,故不符合题意.总的来说,该斜三棱柱的体积是2 1 5或者4 6.2 应用向量法技巧,解答立体几何试题向量法就是把立体几何放置到三维直角坐标系中,设定数值,且求出向量的值,只要是能够建立空间直角坐标系的题目,均可以使用向量法进行求解,与传统方法相比,虽然计算量稍微多一些,但是优点在于无须费脑筋画辅助线,只需要简单地按照套路63 数理天地 高中版解题技巧2 0 2 3年1 0月上展开计算即可,特别适用于比较复杂的题目.高中数学教师可以指引学生应用向量法将立体几何问题转变成代数问题,弥补空间想象能力不足的缺陷,让他们通过构建合理的空间直角坐标系解题3.例2 如 图1所 示,在 四 棱 台A B C D-A1B1C1D1中,底面是一个矩形,平面A A1D1D与平面C C1D1D是垂直关系,且C C1=C D=DD1=12C1D1=1.(1)证明AD与平面C C1D1D是垂直关系;(2)如果A1C与平面C C1D1D所成的角是3,那么二面角C-A A1-D的余弦值是多少?图1解析 在第(2)问中可以采用向量法求解,结合题目中提供的图形与现象建立空间直角坐标系,从中找到解题的切入点,最终准确求得结果.具体解题方式如下:(1)作DHC1D1于点H,把D C1连接起来,根据C C1=C D=DD1=12C1D1=1,得到D1H=12,D1DH=3 0,则DH=D1Dc o s 3 0 =32,HC1=32,那 么D C1=DH2+HC21=3,在三角形D1D C1中能够得到DD21+D C21=D1C12,故D1D C1是一个直角三角形,D C1DD1,又因为平面A A1D1D与平面C C1D1D是垂直关系,且DD1是两个平面的交线,所以D C1与平面A A1D1D是垂直关系,ADD C1,因为AD和C D是垂直关系,故AD与平面C C1D1D也是垂直关系.(2)把A1C1连接起来,以D1为坐标原点,建立出如图2所示的空间直角坐标系,因为A1D1与平面C C1D1D是垂直关系,那么A1C在平面C C1D1D内的射影是D1C,A1C与平面C C1D1D所成的角是A1C D1,大小是3,在直角三角形A1C D1中可以得到A1D1的值是3,则D1(0,0,0),A1(3,0,0),D0,12,32 ,C0,32,32 ,C1(0,2,0),那么D1D=0,12,32 ,D1A1=(3,0,0),A1C1=(-3,2,0),A1C=0,32,32 ,设m=(x,y,z),是 平 面A A1D1D的法向量,则mD1D=0,mD1A1=0,整理以后得到12y+32z=0,3x=0,令y=3,能够求出m=(0,3,-3),设n=(a,b,-c)是平面A A1C1C的法向量,则nA1C1=0,nA1C=0,整理以后得到-3a+2b=0,-3a+32b+32c=0,令a=2,则n=(2,33),根据图2可知二面角C-A A1-D是一个锐二面角,则c o s=mnmn=62 34=34,所以说二面角C-A A1-D的余弦值是32.图23 采用转化法技巧,解答立体几何试题转化法在高中数学解题中比较常用,广泛适用于各类题目,主要思路是将一个问题进行转化,达到化陌生为熟悉、化难为易、化复杂为简单、化抽象为具体的效果,这既是一种关键的解题思想,还是一种基本的解题策略,也是一种有效的解题思维.针对高中数学立体几何解题教学来说,当遇到一些难度较大的题目时,教师可以提示学生采用转化法的解题技巧,对题目中的一些信息或条件进行适当转化,使其从中找到解题的切入点,从而准确解题4.例3 已知如图3所示,在四棱锥S-A B C D中,AD C的大小是1 2 0,且是B C D的2倍,732 0 2 3年1 0月上解题技巧 数理天地 高中版S A B与B AD均是直角,S A=AD=12B C=1,平面S A B与平面A B C D是垂直关系,S C的中点为点E,(1)求证D E与平面S A B是平行关系;(2)求点S到平面A E B的距离.图3解析 第(2)问是一个求点到平面距离的问题,这时可以使用等体积法展开转化,把距离问题转化成求解平面图形的面积问题.具体解题方式如下:(1)取B C的中点F,分别把D F,E F连接起来,由于AD C是B C D的2倍,且为1 2 0,则AD C与B C D的和是1 8 0,则AD与B C是平行关系,又因为S A=AD=12B C=1,四边形AD F B是一个平行四边形,则D F与A B是平行关系,根据三角形中位线定理能够得到E F与S B是平行关系,且E F与D F的公共点是F,故平面D E F与平面S A B是平行关系,所以D E与平面S A B同样是平行关系.(2)如图4所示,取S B的中点P,把E P连接起来,则E P与B C是平行关系,且E P=12B C,由于S A B与B AD均 是 直 角,平 面S A B与 平 面A B C D是垂直关系,则AD与平面S A B也是垂直关系,因为AD与B C是平行关系,AD=12B C,则E P=AD,且E P与平面S A B是垂直关系,即为VS-A B E=VE-S A B,由于A B是D F是平行关系,B D C是6 0,则A B=D F=F Ct a n 6 0=3,所以在三角形S A B中,SA B C=12S AA B=32,则VE-S A B=13ADSS A B=36,然后过点P作PHA B与点H,那么PH与S A是平行关系,容易得到PH=12S A=12,把EH连接起来,能够得到EH=E P2+PH2=52,则SB A E=12A BEH=1 54,所以36=13SB A Eh,解之得h=2 55,这表明点S到平面A E B之间的距离是2 55.图44 结语总而言之,在高中数学教学中,立体几何是难度相对较大的一部分知识,相应的习题难度也比较大,如果不采用一些解题技巧的话,学生很难顺利地解答题目,还会经常遇到思维障碍,教师应结合立体几何知识与题型的特征,指引他们学会灵活使用分类讨论、向量、转化、割补、函数与辅助线等技巧进行解题,不断提升他们的解题水平,改善数学思维品质.参考文献:1丁伟.高中数学立体几何的解题技巧指导J.数学大世界(下旬),2 0 2 1(0 3):7 7.2黄淑莎.关于高中数学立体几何解题教学的实践J.数理化解题研究,2 0 2 1(2 4):2 2-2 3.3张春红,营九洲.浅谈高中数学立体几何解题技巧探析J.数理化解题研究,2 0 2 1(2 1):2 8-2 9.83 数理天地 高中版解题技巧2 0 2 3年1 0月上