1、基础精讲高中数学导数在解答各类问题中的应用王衍星(山东省泗水县第一中学 2 7 3 2 0 0)【摘要】导数作为连接学生函数知识体系的重要节点,良好的知识基础对学生数学成绩有十分重要的意义.通过总结可以发现,在不等式证明、极值问题、参数取值范围等诸多问题的解答中,都需要导数的参与,但是学生对导数的掌握和运用并不理想.因此,系统性分析导数在各类问题解答中的运用,可以促进学生成绩的提高.【关键词】导数;解题;高中数学高中阶段,导数是一个十分重要的知识点,贯穿于整个函数知识体系.灵活运用导数知识对于学生解答函数问题有很大的帮助,能降低学生解题的难度.无论是在不等式证明、极值问题中,还是在参数取值范围
2、、函数图象推导及综合运用题中,都能发挥极大的作用.但是在考查中,学生对导数知识的运用效果并不理想,因此,本文系统性总结导数在相关题型中的解题方法及策略,以帮助学生快速提升.1 证明不等式不等式证明是一种常见题型,当涉及比较复杂的不等式时,借助导数往往可以较快速地解答问题.例1 证明:t a nxx+x33,x 0,2 .证明 令f(x)=t a nx-x+x33 ,则可根据f(x)与0的关系进行求证,对其进行求导可得f(x)=1s e c2x-1-x2=1+t a nx-1-x2=t a n2x-x2,因为x 0,2 ,所以t a nxx0,所以f(x)0,因为f(x)=t a nx-x+x3
3、3 在x=0处连续,所以在0,2 区间内函数f(x)单调递增,所以当x 0,2 时,f(x)f(0)=0.2 极值问题求解极值问题,通常有多种方法,但是普通的方法往往会增加解题的复杂性,浪费时间,而借助导数,极值问题就会变得直观明了.首先,根据导数与0的关系,确定函数的变化趋势,然后根据变化趋势确定函数的极值.例2 已知函数f(x)=x-1+aex(a R),(1)若f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)求函数f(x)的极值.解(1)因为f(x)=x-1+aex,求导可得f(x)=1-aex,因为f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 与x轴平行,所以f(1)=0,即1
4、-ae=0,故a=e.(2)由上可得,f(x)=1-aex.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)上是单调递增函数,故函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=l na.2 数理天地 高中版基础精讲2 0 2 3年1 0月上所以当x(-,l na)时,f(x)0,所以f(x)在(-,l na)上单调递减,在(l na,+)上单调递增,故f(x)在l na处取极小值,为f(l na)=l na;无极大值.综上所述:a0时,无极值;a0时,f(x)在l na处取极小值l na,无极大值.3 参数的取值范围确定函数中参数的取值范围是数学问题中较为复杂的一类题目,是对学生
5、综合知识的考查,需要学生熟练运用导数的相关知识,以此分析函数图象特点,降低解题难度.例3 设函数f(x)=x2+1-a x,其中a0.求a的取值范围,使函数f(x)在区间0,+)上是单调函数.解 当x0,+)时,xx2+1=x2x2+10,1),所以f(x)=xx2+1-a.函数f(x)在区间0,+)上是单调函数,即f(x)0或f(x)0在0,+)上恒成立,(1)若f(x)在区间0,+)上单调递增,则f(x)0,所以xx2+1a,对x0,+)恒成立,因为xx2+10,所以a0,不符合题意,舍去.(2)若f(x)在区间0,+)上单调递减,则f(x)0,所以xx2+1a,由于在(0,+)上xx2+
6、1=11+1x2连续递增,且xx2+10,1),故a1.综上 所述,a 1时,函数f(x)在 区 间 0,+)上是单调递减函数.4 结语综上所述,在诸多数学问题的解答中都需要学生运用导数思维,灵活运用导数思维不但可以降低解答问题的难度,还能提升解题速度,节约时间.所以,在日常学习中,学生需要系统性学习导数相关的知识,灵活掌握基础性质,以保证在考试中快速解答问题.参考文献:1谭芳芳.导数几何意义的应用研究J.高中数理化,2 0 2 2(Z 1):2 0-2 1.2沈宝伟.导数中不等式问题常见的证明策略J.中学数学,2 0 2 2(1 7):3 7-3 8.3王六六.导数在高中数学解题中应用的策略J.数学大世界(上旬),2 0 2 2(0 6):5 9-6 1.4 杨岩.导数在函数不同题型解题中的应用J.中学数学,2 0 2 2(0 1):8 6-8 7.32 0 2 3年1 0月上基础精讲 数理天地 高中版
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