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初二上学期知识点总结初二上学期知识点总结三角形几何 A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）ABCD几何表达式举例：(1)AD 平分BACBAD=CAD(2)BAD=CADAD 是角平分线2三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）ABCD几何表达式举例：(1)AD 是三角形的中线 BD=CD(2)BD=CDAD 是三角形的中线3三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）ABCD几何表达式举例：(1)AD 是 ABC 的高ADB=90(2)ADB=90AD 是 ABC 的高4三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）ABC几何表达式举例：(1)AB+BCAC(2)AB-BCAC5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（如图）几何表达式举例：(1)ABC 是等腰三角形ABC AB=AC(2)AB=AC ABC 是等腰三角形6等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1)ABC 是等边三角形AB=BC=AC(2)AB=BC=ACABC 是等边三角形7三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和 180；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：(1)A+B+C=180(2)C=90A+B=90(3)ACD=A+B(4)ACD A8直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1)C=90ABC 是直角三角形(2)ABC 是直角三角形C=909等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）几何表达式举例：(1)C=90 CA=CBABC 是等腰直角三角形(2)ABC 是等腰直角三DABCABCABCABC角形C=90 CA=CB10全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等.（如图）几何表达式举例：(1)ABCEFG AB=EF (2)ABCEFGA=E 11全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.（如图）（1）（2）（3）几何表达式举例：(1)AB=EF B=F又 BC=FGABCEFG(2)(3)在 RtABC 和 RtEFG中 AB=EF又 AC=EGRtABCRtEFG12角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）AOBCDE几何表达式举例：(1)OC 平分AOB又CDOA CEOB CD=CE(2)CDOA CEOB又CD=CEABCGEFABCGEFABCEFGOC 是角平分线13线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）ABEFO几何表达式举例：(1)EF 垂直平分 ABEFAB OA=OB(2)EFAB OA=OBEF 是 AB 的垂直平分线14线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）ABCMNP几何表达式举例：(1)MN 是线段 AB 的垂直平分线 PA=PB (2)PA=PB点 P 在线段 AB 的垂直平分线上15等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是 60.（如图）ABC（1）ABCD（2）几何表达式举例：(1)AB=ACB=C(2)AB=AC又BAD=CADBD=CDADBC(3)ABC 是等边三角形 A=B=C=60ABC（3）16等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）ABC（1）ABC（2）（3）ABC（4）几何表达式举例：(1)B=C AB=AC(2)A=B=CABC 是等边三角形(3)A=60又AB=ACABC 是等边三角形(4)C=90B=30 AC=AB2117关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）几何表达式举例：(1)ABC、EGF 关于 MN 轴对称ABCEGF(2)ABC、EGF 关于 MN 轴对称OA=OE MNAE18勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系:a2+b2=c2，那么这个三ABC几何表达式举例：(1)ABC 是直角三角形a2+b2=c2(2)a2+b2=c2ABC 是直角三角形EFMOABCNG角形是直角三角形.（如图）19Rt 斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）DABC几何表达式举例：ABC 是直角三角形D 是 AB 的中点CD=AB21(2)CD=AD=BDABC 是直角三角形几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二 常识：1三角形中，第三边长的判断：另两边之差第三边另两边之和.2三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若 CDAB，BECA，则CDAB=BECA.4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6分别含 30、45、60的直角三角形是特殊的直角三角形.7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1）ACCB=CDAB；（2）1=B，2=A.8三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角ABCEDABCD12所对的边是对应边.10等边三角形是特殊的等腰三角形.11几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.18几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：构造特殊图形，使可用的定理增加；一举多得；聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若 BD 是角平分线）在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，转移线段和角；过 D 点作 DEBC 交 AB 于 E，构造等腰三角形.BCDAEBCDAE（3）已知三角形中线（若 AD 是 BC 的中线）过 D 点作 DEAC 交 AB于 E，构造中位线；延长 AD 到 E，使DE=AD 连结 CE 构造全等，转移线段和角；AD 是中线 SABD=SADC（等底等高的三角形等面积）(4)已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC 作等腰三角形 ABC 底边的中线AD（顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形；作等腰三角形 ABC 一边的平行线 DE，构造新的等腰三角形.（5）其它作等边三角形 ABC一边 的平行线 DE，构造新的等边三角形；作 CEAB，转移角；延长 BD 与 AC 交于E，不规则图形转化为规则图形；ADECBADECBADCBADCBEADCBEADCBDACBECBADECEBDA 多边形转化为三角形；延长 BC 到 D，使CD=BC，连结 AD，直角三角形转化为等腰三角形；若 ab,AC,BC 是角平分线,则C=90.分式分式 1.分式的定义：分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫BA做分式。2.分式有意义、无意义的条件分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于 0；分式无意义的条件：分式的分母等于 0。3.3.分式值为零的条件：分式值为零的条件：当分式的分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0。（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式 为 0 的AB条件是 A0，且 B0.）（分式的值为 0 的条件是：分子等于 0，分母不等于 0，二者缺一不可。首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为 0.当分母的值不为 0 时，就是所要求的字母的值。）4.分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为 （），其中 A、B、C0C是整式 注意：（1）“C 是一个不等于 0 的整式”是分式基本性质的一个制约条件；（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式 C；ADOBCEBCDABACabCBCABACBCABA （4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。5.5.分式的通分：分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。6.6.分式的约分：分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母 分解因式，然后再约分；（2）找公因式的方法：当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“”放在分数线前；（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；7.7.分式的运算：分式的运算：分式乘法法则：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式除法法则：分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示是：提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母bcadcdbadcbabdacdcba;分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变 （3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号 里面的；分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。分式乘方法则：分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。用式子表示是：（其中 n 是正整数）注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。分式的加减法则：分式的加减法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为：abcba cb法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。用式子表示为：abcdadbdbcbdad bcbd注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；（3）运算时顺序合理、步骤清晰；（4）运算结果必须化成最简分式或整式。nnnbaba)(分式的混合运算分式的混合运算:分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8 8、分式方程：分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 整式方程.（2）解分式方程的一般方法和步骤：去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；解这个整式方程；检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于 0 的解是原方程的解，使最简公分母等于 0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。注意：去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；解分式方程必须要验根，千万不要忘了！9 9、解分式方程的步骤、解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根分式方程检验方法：分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。1010、.含有字母的分式方程的解法：含有字母的分式方程的解法：在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的 限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。1111、.列分式方程解应用题的步骤是：列分式方程解应用题的步骤是：(1)(1)审：审：审清题意；(2)(2)找找:找出相等关系；(3)(3)设：设：设未知数；(4)(4)列：列：列出分式方程；(5)(5)解：解：解这个分式方程；(6)(6)验：验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)(7)答答：写出答案。应用题有几种类型；基本公式是什么？应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：(1)行程问题 基本公式：路程=速度时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法去分母转化(3)工程问题 基本公式：工作量=工时工效(4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水 数据的分析数据的分析 1.加权平均数：加权平均数的计算公式。权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。2.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。5.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。6.平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。