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高三导数压轴题题型归纳.doc

1、导数压轴题题型1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)exln(xm)(2013全国新课标卷)(1)设x0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m2时,证明f(x)0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1,定义域为x|x1,f(x)ex,显然f(x)在(1,0上单调递减,在0,)上单调递增(2)证明g(x)exln(x2),则g(x)ex(x2)h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0,所以h(x)是增函数,h(x)0至多只有一个实数根,又g()0,所以h(x)g(x)0的唯一实根在区间内,设g(x)0的根为t,则有g(t)et0,所以,ett2e

2、t,当x(2,t)时,g(x)g(t)0,g(x)单调递增;所以g(x)ming(t)etln(t2)t0,当m2时,有ln(xm)ln(x2), 所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例2已知函数满足(2012全国新课标)(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值。(1) 令得: 得: 在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为(2)得 当时,在上单调递增 时,与矛盾 当时, 得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为例3已知函数,曲线在点处的切线方程为。(2011全国新课标)()求、的值;()如果当,且时,求的取值范围。解() 由

3、于直线的斜率为,且过点,故即解得,。()由()知,所以。考虑函数,则。(i)设,由知,当时,h(x)递减。而 故当时, ,可得;当x(1,+)时,h(x)0从而当x0,且x1时,f(x)-(+)0,即f(x)+.(ii)设0k0,故 (x)0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)0,可得h(x)0,而h(1)=0,故当x (1,+)时,h(x)0,可得 h(x)0时恒成立,求正整数k的最大值.例14(创新题型)设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的极值点,求a的值;()当 a=1时,设P(x1,f(x1), Q(x2, g(x

4、 2)(x10,x20), 且PQ/x轴,求P、Q两点间的最短距离;()若x0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方,求实数a的取值范围例15(图像分析,综合应用) 已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设()求的值;()不等式在上恒成立,求实数的范围;()方程有三个不同的实数解,求实数的范围导数与数列例16(创新型问题)设函数,是的一个极大值点若,求的取值范围;当是给定的实常数,设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在,求所有的及相应的;若不存在,说明理由导数与曲线新题型例17(形数转换)已知函数, .(1)若, 函数 在其定义

5、域是增函数,求b的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.例18(全综合应用)已知函数.(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求;(3)在(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.导数与三角函数综合例19(换元替代,消除三角)设函数(),其中()当时,求曲线在点处

6、的切线方程;()当时,求函数的极大值和极小值;()当, 时,若不等式对任意的恒成立,求的值。创新问题积累例20已知函数. I、求的极值. II、求证的图象是中心对称图形.III、设的定义域为,是否存在.当时,的取值范围是?若存在,求实数、的值;若不存在,说明理由导数压轴题题型归纳 参考答案例1解:(1)时,由,解得. 的变化情况如下表:01-0+0极小值0 所以当时,有最小值.(2)证明:曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 令,得, ,即. 又, 所以.例2,令当时,当,函数单调递减;当,函数单调递增.当时,由,即,解得.当时,恒成立,此时,函数单调递减;当时,,时,函数单调递减

7、;时,函数单调递增;时,函数单调递减.当时,当,函数单调递减;当,函数单调递增.综上所述:当时,函数在单调递减,单调递增;当时,恒成立,此时,函数在单调递减;当时,函数在递减,递增,递减.当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,有,又已知存在,使,所以,()又当时,与()矛盾;当时,也与()矛盾;当时,.综上,实数的取值范围是.例3解:根据题意,得即解得 所以 令,即得12+增极大值减极小值增2因为,所以当时,则对于区间上任意两个自变量的值,都有,所以所以的最小值为4因为点不在曲线上,所以可设切点为则因为,所以切线的斜率为则=,即因为过点可作曲线的三条切线,所以方程有

8、三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令,则或02+增极大值减极小值增则 ,即,解得例4解:, 令(舍去)单调递增;当递减. 上的极大值.由得设,依题意知上恒成立, 上单增,要使不等式成立,当且仅当 由令,当上递增;上递减,而,恰有两个不同实根等价于 例5解:a,令得或,函数的单调增区间为.证明:当时, ,又不妨设 , 要比较与的大小,即比较与的大小,又, 即比较与的大小 令,则,在上位增函数又, ,即 , 由题意得在区间上是减函数 当, 由在恒成立设,则在上为增函数,. 当, 由在恒成立设,为增函数,综上:a的取值范围为.例6解:(1),, 即在上恒成立设,,时,单调减,单调增,所以时,

9、有最大值.,所以.(2)当时,,所以在上是增函数,上是减函数.因为,所以即,同理.所以又因为当且仅当“”时,取等号.又,,所以,所以,所以:.例7(I)由,因为当时取得极大值,所以,所以;(II)由下表:+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得:,解得:所以函数的解析式是: (III)对任意的实数都有在区间-2,2有:函数上的最大值与最小值的差等于81,所以例8解:(),当时,在上恒成立,函数 在 单调递减,在上没有极值点;当时,得,得,在上递减,在上递增,即在处有极小值当时在上没有极值点,当时,在上有一个极值点 ()函数在处取得极值, 令,可得在上递减,在上递增,即()证明:, 令,则只

10、要证明在上单调递增,又,显然函数在上单调递增 ,即,在上单调递增,即,当时,有 例9 解:(I)的斜率为1,且与函数的图像的切点坐标为(1,0),的方程为又与函数的图象相切,有一解。由上述方程消去y,并整理得依题意,方程有两个相等的实数根,解之,得m=4或m=-2, (II)由(I)可知,单调,当时,单减。,取最大值,其最大值为2。 (III)证明,当时,例10解:(1)函数的定义域是由已知令,得因为当时,;当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减(2)由(1)可知当,即时,在上单调递增,所以当时,在上单调递减,所以当,即时,综上所述,(3)由(1)知当时所以在时恒有,即,当且仅当时等号成立因

11、此对任意恒有因为,所以,即因此对任意,不等式例11解:()当时,函数在区间上单调递增;当时,函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值,故. ()令, 则.函数在上可导,存在,使得.,当时,单调递增,;当时,单调递减,;故对任意,都有. ()用数学归纳法证明.当时,且,由()得,即,当时,结论成立. 假设当时结论成立,即当时,. 当时,设正数满足,令, 则,且. 当时,结论也成立.综上由,对任意,结论恒成立. 例12 解:当时,当,故函数在上是增函数,当,若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在上是增函数,此时若,当时,;当时,此时是减函数;当时,此时是增函数故若,在上非正(仅当,x=e时,

12、),故函数在上是减函数,此时不等式,可化为, 且等号不能同时取,所以,即,因而()令(),又,当时,从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,故的最小值为,所以a的取值范围是例13 解:(1)定义域(2)单调递减。当,令,故在(1,0)上是减函数,即,故此时在(1,0)和(0,+)上都是减函数(3)当x0时,恒成立,令又k为正整数,k的最大值不大于3下面证明当k=3时,恒成立当x0时 恒成立 令,则,当当取得最小值当x0时, 恒成立,因此正整数k的最大值为3例14解:()F(x)= ex+sinxax,.因为x=0是F(x)的极值点,所以. 又当a=2时,若x0, .x=0是F(x)的极小

13、值点, a=2符合题意. () a=1, 且PQ/x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令当x0时恒成立.x0,+时,h(x)的最小值为h(0)=1.|PQ|min=1. ()令则.因为当x0时恒成立, 所以函数S(x)在上单调递增, S(x)S(0)=0当x0,+时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x0,+时恒成立.当a2时,在0,+单调递增,即.故a2时F(x)F(x)恒成立. 例15 解:()(1) 当时,上为增函数 故 当上为减函数故 即. .()方程化为,令, 记 ()方程化为,令, 则方程化为 ()方程有三个不同的实数解,由的图像知,有两个根、, 且 或 , 记则 或 例16

14、 解: ()时,令,设是的两个根, (1)当或时,则不是极值点,不合题意; (2)当且时,由于是的极大值点,故 ,即,()解:,令,于是,假设是的两个实根,且由()可知,必有,且是的三个极值点,则,假设存在及满足题意,(1)当等差时,即时,则或,于是,即此时或 (2)当时,则或若,则,于是,即两边平方得,于是,此时,此时=若,则,于是,即两边平方得,于是,此时此时综上所述,存在b满足题意,当b=a3时,时,时,.例17解:(1)依题意:在(0,+)上是增函数, 对x(0,+)恒成立, (2)设 当t=1时,ym i n=b+1; 当t=2时,ymi n=4+2b 当的最小值为 (3)设点P、Q

15、的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则 设 这与矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 例18 (1)假设存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上,则函数图像的对称中心为. 由,得, 即对恒成立,所以解得 所以存在点,使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上. (2)由(1)得. 令,则. 因为, 所以, 由+得,所以. 所以. (3)由(2)得,所以. 因为当且时,. 所以当且时,不等式恒成立. 设,则. 当时,在上单调递减; 当时

16、,在上单调递增. 因为,所以, 所以当且时,. 由,得,解得. 所以实数的取值范围是.例19 解:当时,得,且,所以,曲线在点处的切线方程是,整理得()解:令,解得或由于,以下分两种情况讨论(1)若,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且(2)若,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且()证明:由,得,当时,由()知,在上是减函数,要使,只要,即设,则函数在上的最大值为要使式恒成立,必须,即或所以,在区间上存在,使得对任意的恒成立例20 (I) .注意到,得,解得或.当变化时,的变化情况如下表:+0增极大值减减极小值增所以是的一个极大值, 是的一个极大值.(II) 点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.设为的图象上一点,关于的对称点是.也在的图象上, 因而的图象是中心对称图形. (III) 假设存在实数、.,或.若, 当时, ,而.故此时的取值范围是不可能是. 若,当时, ,而.故此时的取值范围是不可能是.若,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解. 故此时的取值范围是不可能是. 综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.

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