河北衡水中学2019届全国高三数学第一次摸底联考.doc

1.复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知全集，，则
A. B.
C. D.
3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：

2015年高考数据统计 2018年高考数据统计
则下列结论正确的是
A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同
D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为
A.11 B.12 C.13 D.14
5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，
A. B. C. D.
6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则

A. B.
C. D.
8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体

A.有四个两两全等的面
B.有两对相互全等的面
C.只有一对相互全等的面
D.所有面均不全等
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是

A. B. C. D.
10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.
14.已知数列，若数列的前项和，则的值为________.
15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.
16已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为________
三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17.（12分）
如图，在中，是边上的一点，，，.
（1）求的长；
（2）若，求的值.

18.（12分）
在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。

如图1 如图2
19.（12分）
某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）.
（1）求的值；
（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.

20.(12分）
已知抛物线的焦点为，是上一点，且.
（1）求的方程；
（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明直线过定点.
21.(12分）
已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数的零点的个数。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值.
23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.

参考答案及解析
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考·理科数学
一、选择题
1.D【解析】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.
2.C【解析】由，得，解得.所以或.故选C.
3.D【解析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.
4.C【解析】由及公差为2.得.所以，故.故选C.
5.B【解析】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.
6.A【解析】直线的斜率为，所以，又，所以，故选A.
7.C【解析】.故选C.
8.B【解析】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.
所以≌.
因为平面，所以.同理，.
因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.

9.A【解析】在中，，，，由余弦定理，得，
所以.
所以所求概率为.
故选A.
10.C【解析】画出函数的图像如图所示，由图可知所以.故选C.

11.A【解析】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为。故选A.

12.B【解析】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.
因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.

二、填空题
13.【解析】可行域如图所示，
当直线经过点时，取得最小值.解方程组可得点，所以.故填.

14.16【解析】据题意，得，
所以当时，.
两式相减，得.所以当时，，故.
15.120【解析】.故填120.
16.4【解析】据题意知，函数的图像关于直线对称，曲线关于直线对称，所以，.所以，.因为，所以.所以.又与在区间上都为减函数，所以.
三、解答题
17.解：（1）由已知，得………………………………………………1分
又，，
在中，由余弦定理，
得，……………………4分
整理，得.解得.…………………………………………6分
（2）由（1）知，，
所以在中，由正弦定理.得，…………………………8分
解得.………………………………………………………9分
因为所以，从而，即是锐角，……11分
所以.……………………………………………………12分
18.（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点。由平面几何知识，得.…………………………………………………………………1分
又因为为的中点，所以……………………………………………2分
在题图2中，，，且，
所以平面，
所以平面.…………………………………………………………………4分
又因为平面，
所以平面平面.…………………………………………………………5分
（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.
所以平面.………………………………………………………………6分
又因为平面，
所以.…………………………………………………………………………7分
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.…………………………………………………………………8分
在题图1中，设，则，，，.
则，，，.
所以，，.……………9分
设为平面的法向量，
则，即
令，则.所以.…………………………………………………11分
设与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.…………………………………12分

9.解：（1）由题意知：，所以的取值为10，11，12，13，14，………1分
代入，可得，………………3分
解得.……………………………………………………………………………4分
（2）由（1），得，频率分布直方图如图：……………6分

这40名新生的高考数学分数的平均数为. ……………………8分
（3）由题意可知，，且“高考数学分数不低于130分”的概率为，所以～……………………………………………………10分
所以.…………………………………………………………………12分
10.（1）解：根据题意知，，①……………………………………………1分
因为，所以.②. …………………………………………………2分
联立①②解的，.………………………………………………………… 4分
所以的方程为.………………………………………………………………5分
（2） 证明：方法一，设，.由题意，可设直线的方程为，代入，得.
（3） 由根与系数的关系.得，.③…………………………6分
由轴及点在直线上，得，
则由，，三点共线，得，………………………………8分
整理，得.
将③代入上式并整理，得. ……………………………………………………………………10分
由点的任意性，得，所以.
即直线恒过定点. ……………………………………………………………12分
方法二，设，，
则，，.…………………………6分
由，，三点共线，得，
即，即.…………8分
当时，点坐标为，与重合，不合题意；
当时，，
整理，得.③
因为，
所以直线的方程为. ……………………………………10分
结合③.得

，
所以直线恒过定点. ………………………………………………………12分
21.（1）证明：当时，，则.………………1分
由.得.
当时，；当时，，
所以函数在区间内是减函数。在区间内是增函数，………3分
所以是的极小值点，也是最小值点.且，
故当时.恒成立.………………………………………………………5分
（2）解：据题意，得.
①当时，恒成立.则函数在上是减函数。
又，所以函数有且只有一个零点. …………………………………6分
②当时.由，得.
当时，；
当时，，
所以在区间内是减函数，在区间内是增函数。
所以是函数的极小值点，也是最小值点，
即.…………………………………………7分
令，
则，
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数在区间内是增函数，在区间内是减函数，
从而是函数的极大值点.也是最大值点，所以，
即（当且仅当时取等号）………………………9分
当，即时，函数只有一个零点…………10分
当，即，且时，分和两种情况讨论：
（i）当时，，因为，所以在区间内有一个零点；又，因此有两个零点.
（ii）当时，；
由（1），得.即，亦即.
令.则得，即，
所以，
所以在区间内有一个等点.
又，
因此函数有两个零点.
由（i）和（ii），得当或时，函数有两个零点.
综上，当或时，函数只有一个零点；
当.且时，函数有两个零点。………………………………………12分
22.解：（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即，…………………………………………………………3分
直线的普通方程为. …………………………………………………………5分
（2） 将直线的参数方程代入并化简、整理，
得.……………………………………………………5分
因为直线与曲线交于，两点。
所以，解得.…………………………………6分
由根与系数的关系，得，. ………………………7分
因为点的直角坐标为，在直线上。
所以，……………………………………9分
解得，此时满足.且，
故.…………………………………………………………………………………10分
23.解：（1）由已知不等式，得.………………………………………1分
考虑到，不等式又可化为或………………………3分
解得或.
所以不等式的解集为.………………………………5分
（2）设，则.
因为当且仅当时取等号，
所以. …………………………………………………………………7分
因为函数的值域为，
所以有解，即.
因为，所以，即.
所以实数的取值范围是.…………………………………………………10分