循环小数知识要点复习进程.doc

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循环小数知识要点

一、各名称的定义（具体定义见课本），以及分类
分类

小数部分位数的个数是有限的，没有帽子也没有尾巴。例如：3.4，0.878787

虽然出现有87、87、87的重复，但仅仅出现了几次，个数是有限，所以0.878787还是有限小数

小数部分的位数是无限的，就是无限小数。
有带尾巴的，
有戴帽子的。

例如：2.03003000300003···
这样的小数有规律，但是没有真正的循环，没有循环节。所以它是无限不循环小数，不是循环小数

循环节：
①、循环节只能看小数部分：
13.781378137813···这样的循环小数的循环节很容易错写成是1378，
循环节只能看小数部分，13.781378137813···所以它的循环节应该是7813。
②、只有循环小数才有循环节：
0.878787这样的数其实是有限小数，有限小数是没有循环节的，只有循环小数才有循环节，所以87不是0.878787的循环节，因为0.878787根本没有循环节，

二、循环小数的书写
1、尾巴式：写出2-3组完整的循环节，然后点上3个点（带上尾巴），【写出2组带尾巴】
例：17.563563…，0.10666…
注意：尾巴式必须写出至少2个完整的循环节，不能只写半个循环节
例：0. 313313… 313是循环节，3个数字的循环节
0. 3133131… 31是循环节，2个数字的循环节
这是两个完全不同的循环小数，下面的书写只比上面的多了一个1，但意义完全不同。

2、帽子式：写出1个完整的循环节，然后在循环节的第一个和最后一个数字头上点上点（戴帽子）【只写一组戴帽子】
例：
注意：
①帽子式只写一个循环节，不能多一个数字，也不能少一个数字，也不能带帽子又带尾巴
例：不能写成419，也不能写成419…，
写成也不行，啰嗦也不规范
②帽子要戴准
和是不同的循环小数，的循环节是07，的循环节是107

3、 “帽子式”与“尾巴式”的互换
（1）帽子式 尾巴式 口诀：【写出2组循环节，脱掉帽子带尾巴】
例：，循环节是07，换成“尾巴式”，写出2组循环节，再带上尾巴3.10707…
，循环节是419，虽然1头上没有帽子，帽子式只要求给循环节的头和尾带帽子，中间是可以不带的，所以1也是循环节中的一个数，
写出2组循环节（419419），脱掉帽子带尾巴0.419419…

（2）尾巴式 帽子式 口诀：【只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽】
例：4.1560560…，循环节是560，只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽，，
原来多余的循环节和后面的尾巴都去掉，但不要忘了给循环节戴帽子。
注意：
①、小数部分也可能有不是循环节的数字，
如本题4.1560560…中，十分位的1就不是循环节中的，所以1头上不能戴帽子；
而6为什么也戴呢？因为6是循环节中间的数，帽子只戴给循环节的头和尾就行了。
②、，万分位的0不能去掉，因为这个0不是小数末尾的0，循环小数是无限小数，小数位数是无限的，没有末尾。所以不满足“小数末尾的0可以去掉”

三、循环小数的近似数
尾巴式：位数显示够的，直接进行四舍五入，
不够的，多写出一两个循环节，使位数至少比要保留的位数多一位
帽子式：先转化成尾巴式，写出足够的位数，再进行四舍五入
例：保留三位小数：0.555… 保留三位小数至少展开至小数部分第四位，发现位数不够，多些一些循环节，0.55555…，发现万分位是5，满5，向前进1，0.555…0.556
先将展开成尾巴式，保留三位小数至少展开至小数部分第四位7.0707…，再找到万分位，发现是7，满5要进1，7.071
这两题易错写成近似数是0.555和7.07或7.070，都是没有考虑到循环小数位数是无限的，
没写出来的数位其实也是有数的！
四、各种小数的比大小
有限小数、无限循环小数、无限不循环小数，其中循环小数又有尾巴式和帽子式。
比大小时，都先比整数部分，整数部分的比较很简单，下面针对小数部分的比较。
比小数部分，关键点是循环小数，尾巴式或帽子式，没有显示出足够多的数位，对我们的比较造成了干扰。所以要先把循环小数写成尾巴式，且数位足够多！
例： 4.827 4.827756485…
最大
第二
倒数第二
的十万分位还是7，
4.827756485…的十万分位是5，
最小
整数部分都是4，十分位都是8，百分位都是2，重点比较千分位，以及千分位之后的数字。先将4个循环小数展开成尾巴式，因为要比较到千分位，甚至更多，所以要预留够足够多的数位

①比较千分位看出最大，比较万分位，
②4.827是3位小数，没有万分位了，最小，
的万分位是8，排第二。的万分位是2，排倒数第二（第5）
③和4.827756485…的万分位相同，继续比他们的十万分位
④的十万分位还是7，大，排第三
4.827756485…的十万分位是5，小，排第四
（ ）＞（）＞（）＞（4.827756485…）＞（）＞（4.827）
五、如何通过除法竖式确定循环小数、并找到其循环节、最后进行正确的书写

例：27÷11
①按小数除法的方法列竖式计算
竖式中当余数出现循环时，
可以停止计算，此时余数循环，说明接下来上的商也必定出现循环。可以得出，下一个必定是商4。

②找循环节：当余数出现循环，就可以找循环节了

目前算到2.46，余数是5，上一次算出余数是5之后商4，这次也同样会商4，商完4肯定就是商6，商完6又商4……依次不断重复，也就循环了，
说明循环节就是（46）
用帽子式表示： 只写1组戴帽子
用尾巴式表示：2.4646… 写出2组带尾巴
注意：
1、循环节只是小数部分的，不是整数部分的，循环节与整数部分毫无关系！
2、因为循环小数是准确数，所以结果写到横式上时，是使用等于号
即27÷11= 或 27÷11=2.4646…
只供学习与交流