平行四边形;矩形-菱形-正方形的判定讲课讲稿.doc

学习资料
平行四边形；矩形，菱形，正方形的判定
学习目标：
知识与技能目标：
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理；
2. 能够运用判定定理进行有关的计算和证明；
3. 了解反证法的定义。
情感与态度目标：
通过观察归纳，类比，推理，体会数学活动中所蕴含的探索性和创造性，证明过程的严谨性和结论的确定性。
二. 重点：
平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理
三. 难点：
平行四边形、矩形、菱形、正方形判定在实际生活中的应用
四. 教学过程：
（一）知识梳理：
知识点1：平行四边形的判定
（I）文字语言：
方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
方法4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
方法5：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（II）数学语言：
∵AB//CD，AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB//CD，AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
知识点2：反证法
（I）步骤：
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经推理论证，得出矛盾
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
（II）说明：
（1）找结论的反面要找得准确，全面
（2）证题中的每一步都要有根据，直到推出矛盾
（3）推出的矛盾有两种情况①与定义、定理、公理矛盾，②与已知矛盾
知识点3：矩形的判定
I. 文字语言：
方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形
方法2：对角线相等的平行四边形是矩形
方法3：有3个角是直角的四边形是矩形
数学语言：
方法1：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
方法2：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
方法3：∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
知识点4：菱形的判定
（I）文字语言：
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 4条边都相等的四边形是菱形
（II）数学语言：
1. 在平行四边形ABCD中
∵AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形
2. 在平行四边形ABCD中
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
3. ∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
知识点5：正方形的判定
（I）文字语言：
1. 有一组邻边相等的矩形是正方形
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
3. 对角线相等的菱形是正方形
4. 对角线互相垂直的矩形是正方形
（II）数学语言：
1. 在矩形ABCD中
∵AB=BC
∴矩形ABCD是正方形
2. 在菱形ABCD中
∵∠A=90°
∴菱形ABCD是正方形
3. 在菱形ABCD中
∵AC=BD
∴菱形ABCD是正方形
4. 在矩形ABCD中
∵AC⊥BD
∴矩形ABCD是正方形
（二）实践探究
例1. 求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
解：已知，如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D。
求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：连接AC

∵AB//CD ∴∠1=∠2
在△ABC和△CDA中

∴△ABC≌△CDA（AAS）
∴AB=CD
又∵AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
例2. 已知：在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分于O，∠B=90°。
求证：四边形ABCD是矩形。

证明：∵EF和AC互相平分
∴OA=OC，OF=OE
∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（SAS）
∴AE=CF，∠OAE=∠OCF
∴AB//CD
又∵BE=DF
∴AE＋EB=DF＋CF
即AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵∠B=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
例3. 已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH，与平行四边形ABCD各边相交于点E、F、G、H。求证：四边形EFGH是菱形。

证明：在平行四边形ABCD中
∵OD=OB，OA=OC，AD//CB
∴∠OBG=∠ODE
又∵∠BOG=∠DOE
∴△OBG≌△ODE
∴OE=OG
同理：△OAF≌△OCH ∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EG⊥FH
∴平行四边形EFGH是菱形
例4. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE//AC交BC于E，DF//BC交AC于F。求证：四边形CEDF是正方形。

证明：∵DE//AC，DF//BC
∴四边形CEDF是平行四边形
∵∠ACB=90°
∴平行四边形CEDF是矩形
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD是∠ACB的平分线
∴DE=DF
∴矩形CEDF是正方形
例5. 已知：将矩形ABCD沿EF折成如图所示的图形，D’F与BE相交于点G，延长C’E交AD于H，连接GH。求证：EF与GH互相垂直平分。

证明：先证四边形FGEH是平行四边形
再证：∠EFG=∠EFH=∠FEG
所以四边形FGEH是菱形
∴EF与GH互相垂直平分
（三）课堂小结：
1. 本节学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，灵活地应用这些方法解决问题是学习本节的关键。
2. 本节学习中要注意比较，类比，它是全面灵活应用的前提条件。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 已知AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要增加一个条件。
例如：AB//DC，除此之外，你还可以添加的条件是________________________（至少写出两种）
2. 爱动脑筋的小丽同学，为检验四边形桌面ABCD是否为矩形（如图），她用三角尺量了∠B=∠D=90°，用刻度尺量了AB=CD，就判断四边形桌面ABCD是矩形，请你说明道理。

3. 已知：BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线且交AB于点E，交BC于点F。
求证：四边形BFDE是菱形。

4. 将一张矩形的纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，最后分别沿AE，CF折叠，这样得到四边形AECF是什么样的四边形？试证明你的猜想。
5. 如图，将矩形纸片ABCD的一角折叠，使宽CD落在长AD上，若将其余三个角也像这样折叠后，再将矩形纸片展平，得到4条折痕，它们相交于H，E，F，G。猜想4条折痕所围成的四边形是什么样的四边形？并证明你的猜想。

【试题答案】
1. AD=BC或∠B=∠D
2. 道理如下：
连接AC可以证明Rt△ABC≌Rt△CDA
∴∠BAC=∠DCA
∴AB//CD
又∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠B=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
3. 证明：∵EF是BD的垂直平分线
∴EB=ED
∴∠EBD=∠EDB
同理∠FBD=∠FDB
又∵BD平分∠ABC
∴∠EBD=∠FBD
∴∠FBD=∠EDB ∠EBD=∠FDB
∴BF//DE，BE//DF
∴四边形BFDE是平行四边形
又∵BE=ED
∴平行四边形BFDE是菱形
4. 解：四边形AECF是菱形
证明：∵A、C关于折痕EF对称
∴EF垂直平分AC
∴EA=EC，FA=FC
∴∠1=∠3，∠2=∠4
又∵AD//BC ∴∠2=∠3
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∴AE//FC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EA=EC
∴平行四边形AECF是菱形

5. 解：四边形EFGH是正方形
证明：∵M、C关于DP对称
∴DM=DC ∴∠DMC=∠DCM
∵∠DMC=∠BCM
∴∠BCM=∠DCM=45°
∴∠DGC=90°
同理：∠GHE=∠HEF=∠EFG=90°
∴四边形EFGH是矩形
很容易证明△BEQ≌△CGP
∴EQ=GP
又∵FP=FQ ∴FE=FG
∴矩形EFGH是正方形

仅供学习与参考