1、第二章第二章 平面向量平面向量2.5 2.5 从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积复习引入复习引入:向量的加法向量的加法 向量的减法向量的减法 实数与向量的乘法实数与向量的乘法 两个向量的数量积两个向量的数量积运算结果运算结果向量向量向量向量向量向量？想一想想一想如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:位移SOAFFS力做功的计算力做功的计算功为两个向量之间的某种运算，称为数量积 表示力F F的方向与位移S S的方向的夹角。1、两向量的夹角、两向量的夹角OAB（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点共起点；baB BO OA AO
2、AaBbBbaOAAaOBb（3）a，b=0时,a、b同向；a，b=时，a、b反向；a，b=90时，a b.（4）规定：规定：零向量与任意向量垂直零向量与任意向量垂直.几点说明：几点说明：即即如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！练习练习OABB12 2、射影的定义、射影的定义如图 ,过点B作BB1OA于B1则|cos叫作向量 在 方向上的射影射影当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？OOO注意：注意：射影是一个数量，不是向量。射影是一个数量，不是向量。当当 为锐角时射影为正值；为锐
3、角时射影为正值；当当 为钝角时射影为负值；为钝角时射影为负值；当当 为直角时射影为为直角时射影为0 0；当当 =0=0 时射影为时射影为|b b|；当当 =180=180 时射影为时射影为|b b|.|.3、数量积数量积 表示数量而不表示向量,与、不同,它们表示向量；在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是（1）（2）（3）注意：注意：4、数量积的几何意义、数量积的几何意义当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？（2.11）（2.12）5、向量数量积的性质、向量数量积的性质
4、2.a b a b=03.a a=|a|2或或4.cos =；5.|a b|a|b|判定判定两向量两向量垂直垂直的条件的条件用于计算向量的模用于计算向量的模用于用于计算计算向量的向量的夹角夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状1.1235、数量积的运算律、数量积的运算律例1 已知且 与 的夹角 求分析：可利用定义讨论解例2 在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosCABCabc同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理余弦定理.证明 如图,设 ,则例3 证明菱形的两
5、条对角线互相垂直.ABCDO证明 菱形ABCD中,AB=AD即菱形的两条对角线互相垂直.a b=(e1+e2)(e2-2e1)=-2e1 e1-e1 e2+e2 e2 =-所以23例4 已知单位向量e1,e2的夹角为60 ,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1夹角.解 由单位向量e1,e2的夹角为60 ,得e1e2=由 可得cos=a b|a|b|332321又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2 e1 e2+|e2|2=3|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4 e1 e2+|e2|2=3所以|a|=|b|=又0,所以=120 （1）（5）若）若 ，则对于任一非零，则对于任一非
6、零 有有（2）（3）（7）对于任意向量）对于任意向量 都有都有（6）若）若 ，则，则 至少有一个为至少有一个为判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确：公公式式变变形形对功对功W=|F|s|cos 结构分析结构分析抽抽象象平面向量数量积的定平面向量数量积的定义义a b=|a|b|cos 特特殊殊化化五五条条重重要要性性质质数形数形结合结合几何几何意义意义（1）向量的数量积的定义（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义（3）向量的数量积的性质（4）向量的数量积的运算律课堂小结课堂小结2.向量的射影 4.两个向量的数量积的性质：(1).ab ab=0(3).cos =(2).aa=|a|2或3.向量的数量积（内积）1.两个向量的夹角OAB
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