1、
向量的数量积和坐标运算
是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作，即 其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：
若，则
①；
②；
③
④
1.2. 异面直线所成的角
图1
分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则
1.3. 异面直线的距离
分别在直线上取定向量求与向量都垂直的
向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即.
1.4. 直线与平面所成的角
在上取定，求平面的法向量（如图2所示），再求，则为所求的角.
图3甲
1.5．
2、 二面角
方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则
① 若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即（例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.图3乙
② 若二面角是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量的夹角，即
图4
③ 方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即
1.6. 平面外一点到平面的距离
图5
先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离等于在上的射影长，即.
练习
1．在长方体中，
3、和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为 ．
2.如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．，在四面体S-ABC中，E、F、G、H、M、N分别是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中点，且EF=GH=MN,求证：.
4．如图2，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，求与侧面所成的角．
5．如图3，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱分别是与的中点，点在
4、平面上的射影是的重心，求点到平面的距离．
6．已知正方体的棱长为2，分别是上的动点，且，确定的位置，使．
7．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥中，，面，，求面与面所成二面角的正切值．
A
E
B
C
F
S
D
7.如图，在四棱锥中，底面为正方形，
侧棱底面分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小的余弦值．
8．(本小题满分14分)
如图，三
5、棱柱, ,.
(Ⅰ) 求证：；
（Ⅱ） 求异面直线；
（Ⅲ） 求点
9、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
10．如图，在长方体ABCD-A
6、1B1C1D1中，AD= AA1=1，AB=2。E是CC1的中点，
（1）求锐二面角D-B1E-B的余弦值
（2）试判断AC与面DB1E的位置关系，并说明理由。
（3）设M是棱AB上一点，若M到面DB1E的距离为，试确定点M的位置。
11 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，
F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD ;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角正切
值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
7、
12．长方体ABCD-A1BlClD1中，AB=2，AD=1，AA1=，E、F分别是
AB、CD的中点
(1)求证：DlE⊥平面ABlF；
(2)求直线AB与平面ABlF所成的角
(3)求二面角A-B1F-B的大小。
13．如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
课外练习
A
E
D
C
B
A1
F
D1
C1
B1
1．如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
（1）求二面角C-DE-C1的正切值；
（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．
2已知，如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为在上，且， 是的中点，四面体的体积为
（Ⅰ）求异面直线与所成角余弦值；
（Ⅱ）若点是棱上一点，且，求的值.
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