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2013年6月1一阶一阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组线性微分方程组一阶一阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组为线性微分方程组为先讨论先讨论(1)的求解的求解即即(1)的基解矩阵的求法的基解矩阵的求法.方法：代数的方法方法：代数的方法2013年6月3将将(2)代入代入(1)得得1 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系解法解法 找找n个线性无关的特解个线性无关的特解（构成基解矩阵）（构成基解矩阵）（构成基解矩阵）（构成基解矩阵）3.1 常系数齐次常系数齐次线性微分方程组线性微分方程组2013年6月4方程组方程组(3)有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是:结论结论即即2013年6月52 基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法-常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵矩阵A具有具有n个线性无关的特征向量时个线性无关的特征向量时定理定理3.1是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵的一个基解矩阵.2013年6月6证明证明:由上面讨论知由上面讨论知,每一个向量函数每一个向量函数都是都是(1)的解的解,因此矩阵因此矩阵是是(1)的解矩阵的解矩阵,所以所以2013年6月7注注1：A的特征方程的的特征方程的n个特征根都是单根个特征根都是单根由线性代数的知识有：由线性代数的知识有：属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵的一个基解矩阵.2013年6月8解解例例1 1 2013年6月92013年6月10其通解为其通解为2013年6月13注注2：A的特征方程有重根时，的特征方程有重根时，但有但有n个线性无关特征向量。个线性无关特征向量。且属于不同特征值共有且属于不同特征值共有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量:是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵的一个基解矩阵.2013年6月14解解例例2 2 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量由此由此2013年6月152013年6月16得基础解系为：得基础解系为：由由2013年6月17故基解矩阵为故基解矩阵为故通解为故通解为2013年6月18 若属于若属于l li的线性无关特征向量个数的线性无关特征向量个数ni如何确定常系数线性微分方程组如何确定常系数线性微分方程组(1)的的ni个个线性无关的特解？线性无关的特解？(2)矩阵矩阵A的线性无关的特征向量的个数的线性无关的特征向量的个数n时时2013年6月19定理定理3.22013年6月20说明说明1:其中其中2013年6月21说明说明2:对应于矩阵对应于矩阵A的每个特征值按定理的每个特征值按定理3.1或或 定理定理3.2确定的那些线性无关的特解合起来确定的那些线性无关的特解合起来 仍然线性无关，它们就是方程组（仍然线性无关，它们就是方程组（1）的）的 一个基本解组。一个基本解组。见见SeeP301定理定理3.32013年6月22例例3解解 特征方程为特征方程为为求其对应的特征向量为求其对应的特征向量考虑方程组考虑方程组解得解得2013年6月23由由2013年6月24其通解为其通解为2013年6月25其通解为其通解为代入初始条件代入初始条件2013年6月31(3)矩阵矩阵A有复特征值有复特征值，它的特征值中可能有共轭复数，它的特征值中可能有共轭复数，特征向量可能是复向量。，特征向量可能是复向量。SeeP304可将线性无关的复向量值函数可将线性无关的复向量值函数线性无关的实向量值函数。线性无关的实向量值函数。2013年6月32例例5解解的根的根,2013年6月33解得解得2013年6月342013年6月35其中其中2013年6月36重要性质：重要性质：若若X(t)是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵且满足条件的一个基解矩阵且满足条件X(0)=E，则有则有See P.307定理定理3.4的证明过程的证明过程2013年6月373.2 3.2 常系数非齐次线性微分方程组常系数非齐次线性微分方程组复习复习 由第由第7.2节节的一个满足的一个满足的特解的特解(2.1)(2.6)其通解为其通解为(2.10)满足满足的特解的特解(2.11)2013年6月383.2 3.2 常系数非齐次线性微分方程组常系数非齐次线性微分方程组的一个满足的一个满足的特解的特解(3.7)其通解为其通解为满足满足的特解的特解常数矩阵常数矩阵2013年6月39下面研究常系数非齐线性微分方程组下面研究常系数非齐线性微分方程组定理定理3.4 常系数非齐线性微分方程组常系数非齐线性微分方程组(5)的通解为的通解为满足满足的特解的特解（6）（7）见见P3072013年6月40解解由例由例5知知故初值问题的解为故初值问题的解为例例6 设设的解的解.2013年6月41故初值问题的解为故初值问题的解为2013年6月42注意：注意：若基解矩阵不满足定理若基解矩阵不满足定理3.4中条件中条件seeP308的例的例3.62013年6月431.常系数齐次线性微分方程组常系数齐次线性微分方程组的求解步骤的求解步骤小结小结(1)写出矩阵写出矩阵A的特征方程的特征方程求出特征值求出特征值l.l.(2)代入特征值代入特征值l li,作矩阵作矩阵A-l liE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值l li的特征向量的特征向量2013年6月44(3)代入特征值代入特征值l li,作矩阵作矩阵A-l liE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值l li的特征向量的特征向量(i)(ii)2013年6月45(iii)应用公式计算应用公式计算 若属于若属于l li的线性无关特征向量个数的线性无关特征向量个数ni2013年6月462.常系数常系数非齐次非齐次线性微分方程组的求解线性微分方程组的求解常系数非齐线性微分方程组常系数非齐线性微分方程组的通解的通解2013年6月47解解故齐次方程组的基解矩阵为故齐次方程组的基解矩阵为2013年6月482013年6月49解解2013年6月50，故所求方程组的通解为，故所求方程组的通解为